Ejemplo de una acción de grupo G en un espacio del vector V que deja de ser lineal (es decir, no puede ser una representación lineal).

Question

He visto la siguiente definición de una lineales grupo de representación de C. Cuaresma es notas sobre la Teoría de la Representación:

Una representación lineal $ρ$ $G$ en un complejo espacio vectorial $V$ es un conjunto teórico acción en $V$ que conserva la estructura lineal, que es:

1. $ρ(g)(v_1 + v_2) = ρ(g)v_1 + ρ(g)v_2, ∀v_1,v_2 ∈ V$
2. $ρ(g)(kv) = k · ρ(g)v, ∀k ∈ C, v ∈ V$

Esta definición implica que existen acciones de $G$ sobre un espacio vectorial $V$ que no la de preservar la estructura lineal de la $V$ en este sentido. Puede alguien dar un buen ejemplo?

Answer 1

Después de algún pensamiento más he pensado de un ejemplo:

Considerar la acción de la traducción de % enteros $\mathbb{Z}$como un grupo de incoporacion en $\mathbb{R^2}$ dada por: $n * (x,y) = (x+n, y)$.

Podemos comprobar que de hecho esta forma una acción de Grupo:

1. $m (n (x,y)) = m (x + n, y) = (x + n + m, y) = (m+n) (x,y)$
2. $0 * (x,y) = (x + 0, y) = (x,y)$

Sin embargo, esta acción no respeta la multiplicación escalar $k \neq 0$ y $n \neq 0$ ya que esto da $n (k(x,y)) = n (kx, ky) = (kx + n, ky) \neq (kx + kn, ky) = k(x+n, y) = k (n * (x,y))$.

Answer 2

Si recuerdo mal, una especie de estándar de ejemplo sería: tomar el espacio de matrices %#% $ #% % real $$ A(k)=\begin{pmatrix} 1 & k \ 0 & 1 \end{pmatrix}, $. Se trata de un grupo bajo multiplicación con $k$. Definir una acción de $A(k)A(-m) = A(k-m)$ $\rho$ por $\mathbb{R}$ $ para cualquier $$ \rho(A(k))(v) = v+k $. Ahora, se trata de una acción desde $v \in \mathbb{R}$ $ pero $ de #% de #% % y $$\rho(A(k))(\rho(A(m))(v)) = (v+m)+k = v+(k+m) = \rho(A(k)A(m))(v) \quad \text{and} \quad \rho(A(0))(v)=v,$ $ para que nada de la estructura lineal sigue siendo.

Answer 3

Un ejemplo importante de la teoría de la representación es la llamada acción "punto" de un grupo de Weyl de una álgebra de Lie semisimple actuando sobre el doble Cartan. Es dado por el fórmula $w \cdot \lambda = w(\lambda+\rho)-\rho$ donde la acción de punto no es lineal, por lo que puede considerarse como una acción lineal desplazada donde hemos pasado el origen a $-\rho$.

Answer 4

Aquí están algunos ejemplos:

• El ejemplo más extremo es el grupo simétrico en el conjunto subyacente de $V$.
• El grupo afín de $V$, la cual es generada por invertible lineal mapas y traducciones. Esto se puede generalizar mediante la sustitución de ${\rm GL}(V)$ con cualquier matriz subgrupo $G$ conseguir $V\rtimes G$. En particular, $G=1$ nos da el grupo $V$ que actúa sobre sí mismo por las traducciones.
• Considerando $\Bbb R^n$ real $n$-dimensiones de Riemann colector, considere la posibilidad de
  • El grupo de isometría de invertible distancia-la preservación de los mapas.
  • La conformación automorphism grupo de invertible ángulo de la preservación de los mapas.
  • El diffeomorphism grupo de auto-diffeomorphisms.
  • El homeomorphism grupo de auto-homeomorphisms.

Podemos comprobar que todas estas actuar de una forma no lineal en uno: cada acción es transitiva, por lo tanto, hay elementos del grupo que enviar el origen distinto de cero vectores.

Las respuestas de Chappers, Nate y GoatsRule todos caen bajo el segundo punto de viñeta.