Las medidas finitas son $\sigma$ -finito

Question

Cómo puedo demostrar que toda medida finita puede ser considerada como una $\sigma$ -medida finita pero no a la inversa en general?

Answer 1

Dejemos que $(X,\mathcal A,\mu)$ un espacio de medidas, donde $\mu$ es una medida no negativa. $\mu$ se dice finito si $\mu(X)<\infty$ . El espacio $(X,\mathcal A,\mu)$ es $\sigma$ -finito si podemos encontrar una secuencia $\{A_n\}_{n=1}^{+\infty}$ de conjuntos medibles de medida finita tales que $X=\bigcup_{n\geq 1}A_n$ .

• Si $(X,\mathcal A,\mu)$ es finito, es $\sigma$ -finito, ya que se puede tomar $A_1:=X$ y $A_j=\emptyset$ para $j\geq 2$ .
• Pero lo contrario no es cierto. Consulte $X$ un conjunto contable infinito, $\mathcal A:=2^X$ la colección de todos los subconjuntos de $X$ y $\mu$ la medida de recuento ( $\mu(A)$ es el número de elementos de $A$ si $A$ es finito y $+\infty$ de lo contrario). Es $\sigma$ -espacio infinito, porque si $X=\{x_n,n\in\Bbb N\}$ podemos escribir $X=\bigcup_{n\geq 1}\{x_{n}\}$ y $\forall n\in \mathbb{N}:$ $\mu(\{x_{n}\})=1<\infty$ pero no finito, ya que $X$ es infinito.

Answer 2

Voy a añadir otro contraejemplo además del de Davide, que también es bastante sencillo. Como ha señalado Davide, una medida finita es $\sigma$ -finito trivialmente eligiendo el resto de la secuencia como conjuntos vacíos.

Consideremos la medida de Lebesgue $m_{n}$ en $\mathbb{R}^{n}$ . Ahora $\mathbb{R}^{n}=\bigcup_{k=1}^{\infty}B(\bar{0},k)$ y cada $B(\bar{0},k)$ tiene una medida finita (por ejemplo, observando que $m_{n}(B(\bar{0},k))\leq (2k)^{n}$ para todos $k\in\mathbb{N}$ ). Sin embargo, $m_{n}(\mathbb{R}^{n})=\infty$ .