Representaciones de Galois adjuntas a las nuevas formas

Question

Supongamos que $f$ es un peso $k$ nuevo formulario para $\Gamma_1(N)$ con el anexo $p$ -Representación de Galois de los ádicos $\rho_f$ . Denote por $\rho_{f,p}$ la restricción de $\rho_f$ a un grupo de descomposición en $p$ . Cuando es $\rho_{f,p}$ semiestable (como representación de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/\mathbf{Q}_p)$ ?

Para concretar las cosas, me complace suponer que $k=2$ y que el $q$ -expansión de $f$ se encuentra en $\mathbf{Z}[[q]]$ .

Ciertamente, si $N$ es primordial para $p$ entonces $\rho_{f,p}$ es de hecho cristalino, mientras que si $p$ divide $N$ exactamente una vez entonces $\rho_{f,p}$ es semiestable (sólo hay que pensar en la construcción de Shimura en peso 2 aquí, y en las correspondientes propiedades de reducción de $X_1(N)$ en $\mathbf{Q}$ en $p$ ). Para $N$ divisible por potencias superiores de $p$ sabemos que estas representaciones son de Rham, y por tanto potencialmente semiestable. ¿Podemos decir algo más? Por ejemplo, ¿hay condiciones sobre los "datos numéricos" que se adjuntan a $f$ (por ejemplo, la pendiente, $p$ -Valoración de la $N$ etc.) que garantizan la semiestabilidad o la cristalinidad sobre una extensión? ¿Podemos acotar el grado y la ramificación de la extensión mínima sobre la que $\rho_{f,p}$ se convierte en semiestable en términos de datos numéricos datos adjuntos a $f$ ? ¿Puede suceder que $N$ es altamente divisible por $p$ y sin embargo $\rho_{f,p}$ es semiestable sobre $\mathbf{Q}_p$ ?

Creo que probablemente hay una manera local-langreana de pensar/ reformular esta pregunta, que puede ser útil...

Como posible ejemplo del tipo de cosas que tengo en mente: si $N$ es divisible por $p$ y $f$ es ordinario en $p$ entonces $\rho_{f,p}$ se hace semiestable sobre una extensión abeliana de $\mathbf{Q}p$ e incluso se convierte en cristalino sobre dicha extensión siempre que los valores propios de Hecke de $f$ por la acción de $\mu_{p-1}\subseteq (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^{\times}$ a través de los operadores del diamante no son todos 1.

Answer 1

La forma correcta de hacer este tipo de pregunta es la aplicación de Saito local-global teorema que dice que el (semisimplification de la) Weil-Deligne representación construida a partir de $D_{pst}(\rho_{f,p})$ en el olvido de la filtración es, precisamente, el que se adjunta a $\pi_p$, la representación de $GL_2(\mathbf{Q}_p)$ adjunta al formulario a través de locales de Langlands. Sus sugerencias acerca de la $p$-ádico de valoración de $N$, por lo que son más bien "grueso" invariantes---$\pi_p$ le dice todo y es el invariante que usted realmente necesita para estudiar.

Así que ahora usted puede dar una lista de todo lo que está pasando. Si $\pi_p$ es director de la serie, a continuación, $\rho$ será cristalino después de un abelian de extensión---la matanza, la ramificación de los personajes que participan en el principal de la serie. Si $\pi_p$ es un giro de Steinberg por un personaje, $\rho_{f,p}$ será semistable no cristalino después de que has hecho un abelian extensión de hacer al personaje unramified. Y si $\pi_p$ es supercuspidal, $\rho_{f,p}$ será cristalino después de un número finito de no trivial de la extensión que podría ser abelian o no abelian, y averiguar que es una pregunta acerca de la $\pi_p$ (va a ser un cambio de base de una ecuación cuadrática de la extensión de si $p>2$ y usted tiene que bash fuera de las posibilidades).

Me parece entonces que semistable $\rho$s se mostrará precisamente al $\pi_p$ es unramified principal de la serie o Steinberg, así que la respuesta a su pregunta es (si tengo todo el derecho) que $\rho_{f,p}$ será semistable iff bien $N$ (el nivel de la newform) es el primer a $p$ o $p$ divide $N$ exactamente una vez y la componente de a $p$ el carácter de $f$ es trivial. Cualquier otra observación se necesita también debe ser legible a partir de este tipo de datos en la misma forma.

Una consecuencia de esto supongo que es ese $\rho_{f,p}$ es semi-estable si el $\ell$-ádico representación adjunta a $f$ es semistable en $p$.

Answer 2

Puesto que f es potencialmente semi-estable, usted puede mirar a su adjunto filtrada (φ, N, Gal(L/Q_p))-representación (donde ρ_f,p se convierte en semi-estable cuando se limita a G_L). Si N es cero, entonces es potencialmente cristalino, de lo contrario no lo es.

Como para el caso ordinario, no estoy seguro de qué definición de que usted está utilizando. En virtud de Greenberg en la definición de ordinario, p-ádico Galois representación es semi-estable (ver Perrin-Riou del artículo en Bures). También, la Tate de la curva es normal en p, pero no es potencialmente cristalino (una vez que algo es semi-estables y no cristalino, no puede ser potencialmente cristalino).