Deje $\mathbf{E}$ ser un espacio reflexivo y $\mathbf{A ⊂ E}$ ser delimitada y débilmente cerrado. Mostrar que $\mathbf{A}$ es secuencialmente compacto, es decir, cada secuencia en $\mathbf{A}$ ha débilmente convergente larga con límite de en $\mathbf{A}$. Esta declaración es un caso especial de la Eberlein-Smulian Thoerem, que no están autorizados a utilizar en esta tarea.
Sugerencia: en Primer lugar asumir que $\mathbf{E}$ es separable.
Yo sólo puede resolver con este Eberlein Smulian Teorema y creo que mi otro segundo enfoque es erróneo... alguien Ha una solución con una explicación, ¿por qué debo asumir, que $\mathbf{E}$ es separable.
También vi a una prueba de ello aquí Cada delimitada secuencia tiene una débilmente convergente larga en un espacio de Hilbert , pero hay que empezar con un espacio de Hilbert? El espacio de Hilbert es el reflexivo, pero no de la otra manera. O no hay conexión?
Respuestas
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Creo que el argumento en el post vinculado debe filtrar a través de la fina (de hecho, parece construido por general reflexiva de espacios).
Un reflexivo espacio de Banach separable si y sólo si su dual es. (El estándar resultado es que el $X^*$ separables implica $X$ separables.) Fijar una contables densa subsequence $\{\phi_1,\phi_2,\ldots\}\subseteq X^*$, y deje $\{a_1,a_2,\ldots\}\subseteq A$ ser cualquier secuencia. Vamos todos ellos estar delimitado por $M$ en la norma, ya que $A$ fue delimitada. Considere la posibilidad de $\{\phi_1(a_1),\phi_2(a_2),\ldots\}\subseteq \mathbb{K}$. Esta es una secuencia delimitada en un localmente compacto espacio (acotada porque todos ellos han norma menor o igual a $\|\phi_1\|\cdot M$), por lo que tiene un convergentes subsequence $\phi_1(a_{11}),\phi_2(a_{12}),\ldots$. Ahora, para cada una de las $k+1$, del mismo modo extracto convergente larga de $\phi_{k+1}(a_{1k}),\phi_{k_1}(a_{2k}),\ldots$. Hacer un estándar de diagonal argumento y $a_{11},a_{22},\ldots$ es una secuencia en la que cada funcional $\phi_i$ converge. Por otra parte, debido a que el $\phi_i$ eran densas, para cada $\phi\in X^*$, $\phi(a_{11}),\phi(a_{22}),\ldots$ es convergente. Definir el funcional $a$$X^*$$a(\phi)=\lim\limits_{n\to\infty} \phi(a_{nn})$. Este es continua (necesidades de cheques) y, por tanto, por la reflexividad es representado por algún elemento $x\in X$. A continuación, la secuencia $\{a_{nn}\}\xrightarrow{w} x$, y debido a $A$ $w$- cerrado, $x$$A$.
Para el general de los espacios, de arreglar su secuencia $\{a_1,\ldots\}$ y deje $Y$ ser cerrado lineal útil. A continuación, $Y$ es separable, y es un subespacio cerrado de un espacio reflexivo, por lo que en sí mismo reflexivo (Un subespacio cerrado de un reflexivo espacio de Banach reflexivo) y el dual es separable. Pero ahora estamos en el antiguo caso, así que extraer $x$ $y^*(a_n)\rightarrow y^*(x)$ por cada $y^*\in Y^*$. Ahora esta convergencia se cumple para cualquier funcional lineal en $X^*$, debido a la restricción de a $Y$ es un funcional lineal en $Y$.
De hecho, si $X$ es reflexiva, a continuación, $\overline{B_1(0)} \subseteq X$ es débilmente secuencialmente compacto. La prueba comienza como sigue:
Deje $(x_n)_n \subseteq \overline{B_1(0)}$ ser una secuencia y definir $Y := \overline{\mathrm{span}(\{x_k | k \in \mathbb{N}\})}$. Entonces:
$Y$ es separable: puede aproximar cada finito combinación lineal por la misma combinación lineal finita, pero con coeficientes de $\mathbb{Q}$ (o $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ cuando el trabajo de más de $\mathbb{C}$).
$Y$ es reflexiva: todo cerrado lineal subespacio de reflexiva de espacios reflexivos así.
Aplicar ahora el teorema de que $\overline{B_1(0)} \subseteq X'$ es débil-$*$-ly secuencialmente compacto.
Yo creo que por eso se supone que considerar en primer lugar $E$ a ser separables.
En todos los casos, su reclamación directamente de la siguiente manera usando ahora el débil closedness supuesto de que usted tiene.
