Construcción de la integral de Ito

Question

Esto es en lo que respecta a la construcción de la integral de Ito, específicamente el primer paso en la aproximación acotada, funciones continuas mediante funciones elementales.

Deje $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ser un espacio de probabilidad y deje $V = V(S,T)$ ser la clase de funciones $f: [0,\infty) \times \Omega \to \mathbb{R}$ tal que

1. $(t,\omega) \mapsto f(t,\omega)$ $\mathcal{B} \otimes \mathcal{F}$ medible, donde $\mathcal{B}$ es el Borel $\sigma$-álgebra en $[0,\infty)$,
2. $f$ $\mathcal{F}_t$adaptado,
3. $E[ \int_S^T f(t,\omega)^2 dt ] < \infty$.

Oksendal 5ª ed. de "Ecuaciones Diferenciales Estocásticas," en la página 31, dice:

Deje $g \in V$ ser delimitada y $g(\cdot,\omega)$ continua para cada una de las $\omega$. Entonces existen funciones elementales $\phi_n \in V$ tal que $$ \lim_{n \to \infty} E\left[ \int_S^T (g - \phi_n)^2 dt\right] = 0. $$

En su prueba, para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ que establece la $t_j = j \cdot 2^{-n}$ y define las funciones elementales $\phi_n(t,\omega) = \sum_{j=1}^\infty g(t_j, \omega) \mathbb{I}_{[t_j, t_{j+1})}(t)$. Entonces él se establece que, para cada una de las $\omega$, $$ \lim_{n \to \infty} \int_S^T (g - \phi_n)^2 dt = 0 \qquad (1) $$ desde $g(\cdot,\omega)$ es continua para cada una de las $\omega$.

Estoy teniendo algunos problemas de verificación esto para mí. No creo que él utiliza acotamiento de $g$ al alcance de la mano (1). En primer lugar, supongo que para cada $\omega$, $\phi_n \to g$ para todos los $t \in [0,\infty)$, tal vez de manera uniforme? (Estoy teniendo problemas para mostrar esto, en realidad). Si la convergencia es uniforme, entonces a partir de la $[S,T]$ ha finito medida de Lebesgue, $\phi_n \to g$$L^1[S,T]$; es decir, $$ \lim_{n \to \infty} \int_S^T (g - \phi_n) dt = 0. $$

No estoy seguro de por qué esto implicaría la $L^2[S,T]$ convergencia de (1), aunque, y no estoy seguro de cómo utilizar la continuidad de $g$.

Answer 1

En primer lugar, recordemos el siguiente resultado elemental:

Lema: Que $f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ ser un continuo función y ajuste $$fn(t) := \sum{j=0}^{\infty} f(tj) 1{[tj,t{j+1})}(t)$$ where $ t_j: = j 2^{-n}$. Then $f_n(t) \to f (t) $ as $n \to \infty$ for all $t \geq 0$.

Aplicando este resultado para cada fijo $\omega$, obtenemos que $\phi_n(t,\omega) \to g(t,\omega)$ $n \to \infty$. Por otra parte,

$$|\phi_n(t,\omega)-g(\omega)| \leq |\phin(t,\omega)| + |g(\omega)| \leq 2 |g|{\infty}

Ahora sigue de teorema dominado de la convergencia que

$$\mathbb{E}\left( \int_S^T (g-\phi_n)^2 \, dt \right) \to 0$$

$n \to \infty$.