¿Es bajoálgebra de Cartan de una álgebra de mentira?

Question

Que $\mathfrak{g}$ ser una álgebra de mentira. ¿Es bajoálgebra de Cartan de $\mathfrak{g}$? Veo en algunos lugares está escrito "que $\mathfrak{h}$ sea un bajoálgebra de Cartan de $\mathfrak{g}$".

Answer 1

Aquí es un ejemplo. Si $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$, entonces de $$ \mathfrak{h}_1 = \mathbb{R}\begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix} \quad, \quad \mathfrak{h}_2 = \mathbb{R}\begin{bmatrix}0 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} $$ son subalgebras de Cartan.

Add: para añadir un poco más en detalle: no es demasiado difícil comprobar que estos subalgebras son nilpotentes (1) y (2) son ambos iguales a sus normalizers en $\mathfrak{g}$.

Answer 2

Usted puede pensar en términos del grupo de mentira, cualquier elemento en un toro máximo y cualquier Toro máximo dos conjugado uno al otro. Para los grupos de mentira conectados a simple el toro máximo corresponden a la bajoálgebra de Cartan. Así que uno debe esperar varias copias diferentes de Cartan bajoálgebra en la álgebra de mentira. Pero son todos isomorfos.

Answer 3

No, Cartan álgebra de una álgebra de mentira no puede ser único. Pero cualquier dos álgebras de Cartan conjugado uno al otro.