Raíces de $x^{101}-100x^{100}+100=0$

Question

No sé cómo probar que $x^{101}-100x^{100}+100=0$ tiene exactamente dos raíces positivas.

Alguno me puede dar pista para solucionar esto, por favor. Gracias por su tiempo.

Answer 1

Sugerencia: Entre cualquier dos raíces de $f$ allí es una raíz de $f'$

Answer 2

Indirecta: $$f'(x)=101x^{100}-100^2x^{99}=x^{99}\left(101x-100^2\right)$ $ tiene dos soluciones.

$x{\max}=0, x{\min}=\frac{100^2}{101}$ Entonces $$x1<x entonces="">0$</x_>

Answer 3

Observe que el polinomio es positivo en $0$, negativos en (¿?) y positivos % grande $x$, así que raíces positivas de área por lo menos dos. Ahora toma el derivado. ¿Donde es cero?

Answer 4

Simplemente debe estudiar las variaciones de la función $f$ definidas en $f(x) = x^{101}-100x^{100}+100$ $\mathbb R$.

Answer 5

Regla de descartes de los signos indica que $P(x)=x^{101}-100x^{100}+100$ tiene cero o dos raíces positivas.

$P(0)>0$ Y $P(2)