¿Cuando $x^3+y^3=kz^2$?

Question

¿Para que enteros $k$ hace $$ x ^ 3 + y ^ 3 = kz ^ 2 $$ tiene una solución con $z\ne0$ y $\gcd(x,y)=1$? ¿Hay una técnica para contar el número de soluciones para un determinado $k$?

Answer 1

$\qquad\qquad$ Demasiado largo para un comentario: Positivo coprime enteros x y y menos de $6,000$ :

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$ $k=1$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$ $k=2$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$ $k=3$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$ $k=4$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$ $k=5$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$

Answer 2

Si $k=z$, no hay ninguna solución por Último Teorema de Fermat.

Al $k=1$ una solución puede ser $x=1$, $y=2$, $z = 3$, debido a $1^{3} + 2^{3} = 3^{2}$

Otra de las $k=38$ tiene una solución puede ser $x =3$, $y=5$, $z=2$ y hay un montón de $k$ puede ser solución de la ecuación, pero ahora no conozco ninguna técnica para contar cuántos o de lo $k$ dar una solución.

EDITAR:

He encontrado la siguiente solución, creo que no es la mejor pero:

\begin{equation} x^{3} + y^{3} = (x+y)[(x-y)^{2}+xy] \end{equation}

podemos pensar que el $(x+y) = z^{2}$$k =[(x-y)^{2}+xy]$.

ahora el uso de $xy = \frac{1}{4}[(x+y)^2 - (x-y)^{2}]$

podemos encontrar $3$ soluciones,

$1) k =[(x-y)^{2}+xy] \iff x+y$ es un cuadrado;

$2) k =[\frac{3}{2}(x-y)^{2}+\frac{(x+y)^2}{2}] \iff \frac{x+y}{2}$ es un cuadrado;

$3) k =[3(x-y)^{2}+(x+y)^2] \iff \frac{x+y}{4}$ es un cuadrado;

Answer 3

Respuesta (Versión III)

Resulta que si permitimos que $x$, $y$ a ser negativo, todos los $k$ es posible!
Para cualquier entero $t$, definir

$$ \begin{cases} x_o(t) &= 1-3t^2\\ y_o(t) &= 3t^2 + 6t + 2\\ z_o(t) &= 3(3t^2+3t+1)\\ \end{casos} \quad\text{ y }\quad \begin{cases} x_e(t) &= 12t^2 + 12t - 1\\ y_e(t) &= -12t^2 + 12t + 1\\ z_e(t) &= 6(12t^2+1) \end{casos} $$ Tenemos $$ x_o(t)^3 + y_o(t)^3 = (2t+1) z_o(t)^2 \quad\text{ y }\quad x_e(t)^3 + y_e(t)^3 = 2t z_e(t) $$

Además, $$ \begin{cases} (2t+3)x_o(t) + (2t-1)y_o(t) &= 1\\ (t-1)x_e(t) + (t+1)y_e(t) &= 2 \end{casos} \quad\implica\quad \begin{cases} \gcd(x_o(t),y_o(t)) = 1\\ \gcd(x_e(t),y_e(t)) = 1 \text{ or } 2\\ \end{casos} $$

Desde $x_e(t), y_e(t)$ son números impares, las posibilidades de que $\gcd(x_e(t),y_e(t)) = 2$ ha sido descartado.
Como resultado, todas las $( x_o, y_o )$ $(x_e, y_e)$ co-prime soluciones correspondiente Pell-ecuación de Fermat.

Respuesta (Versión I)

(obsoleto por los hallazgos en la Versión II, mantener aquí para referencia histórica)

Esto es sólo otro juego de azar de puntos de datos. El principal resultado es

Si la ecuación de Diophantine $b^2 - 3k a^2 = -2$ tiene un no-trivial solución de $(a,b)$ por entero positivo $k$, luego $$\begin{cases} x &= 6c^2 + 6c + 1\\ y &= 3c^2 + 6c + 2\\ z &= 3ab (3c^2 + 3c + 1) \end{casos} \quad\text{ con }\quad c = k a^2-1 $$ será una solución para la Pell-ecuación de Fermat $k z^2 = x^3 + y^3$.

Desde $$(2c+3)(6c^2 + 6c + 1) - (4c+2)(3c^2 + 6c + 2) = -1$$

El par de $x,y$ generado de esta manera es siempre co-prime.

Por la fuerza bruta de la búsqueda, la ecuación de Diophantine $b^2 - 3ka^2 = -2$ tiene soluciones no triviales para la siguiente lista de $k \le 100$.

$$1,2,6,9,17,18,22,34,38,41,54,57,66,81,82,86,89,97$$

Como resultado, la correspondiente a la beca Pell-Fermat ecuación tiene una solución para estos $k$.
La siguiente es una tabla que muestra una solución para cada una de las $k$.

$$\begin{array}{rcrcrcr} z^2 &\times& k &=& x^3 &+& y^3\\ \hline 3^2 &\times& 1 &=& 1^3 &+& 2^3\\ 42^2 &\times& 2 &=& 13^3 &+& 11^3\\ 1092^2 &\times& 6 &=& 181^3 &+& 107^3\\ 3255^2 &\times& 9 &=& 433^3 &+& 242^3\\ 17157^2 &\times& 17 &=& 1633^3 &+& 866^3\\ 15492906^2 &\times& 18 &=& 156493^3 &+& 78731^3\\ 33288^2 &\times& 22 &=& 2773^3 &+& 1451^3\\ 101010^2 &\times& 34 &=& 6733^3 &+& 3467^3\\ 100761696^2 &\times& 38 &=& 699733^3 &+& 350891^3\\ 162393^2 &\times& 41 &=& 9841^3 &+& 5042^3\\ 591636585540^2 &\times& 54 &=& 256119733^3 &+& 128079467^3\\ 373503^2 &\times& 57 &=& 19153^3 &+& 9746^3\\ 540582^2 &\times& 66 &=& 25741^3 &+& 13067^3\\ 22216951933755^2 &\times& 81 &=& 3287747233^3 &+& 1643943842^3\\ 44651886469302^2 &\times& 82 &=& 5257492813^3 &+& 2628835211^3\\ 1052688^2 &\times& 86 &=& 43861^3 &+& 22187^3\\ 847778841^2 &\times& 89 &=& 3844801^3 &+& 1924802^3\\ 1424787^2 &\times& 97 &=& 55873^3 &+& 28226^3\\ \end{array}$$

Answer 4

Una pregunta a achille hui

"En realidad, este resultado es un subproducto de un enfoque más general que el estudio de las ecuaciones más de la Eisenstein enteros Z[e 2ni/3 ] . Para cada k , hay un número finito de maneras para factorizar sobre Z[e 2ni/3 ] y para cada uno de factorización, el problema puede reducirse al problema de encontrar una solución para una ecuación de Diophantine en 3 variables."

Achille, ¿tienen alguna referencia acerca de este enfoque? Cualquiera de los artículos publicados? A qué te refieres CUADRÁTICA de la ecuación de Diophantine de 3 variables? Gracias, Vlad

Answer 5

Así que usted puede y dibujar otra fórmula. $$x^3+y^3=kz^2$$ $$x=k(b^2-a^2)(b^2+2ba-2a^2)c^2$$ $$y=k(b^2-a^2)(2b^2-2ab-a^2)c^2$$ $$z=3k(b^2-a^2)^2(a^2-ab+b^2)c^3$$

Lo más interesante no es que la fórmula que llevó, como no debe dar mutuamente soluciones simples, pero después de sokrasheniya en común divisor puede ser obtenida y son relativamente primos soluciones. Esto significa que la fórmula que se describe como relativamente primos así que no hay. Coprime soluciones - hay soluciones privadas.

la ecuación: $$(X+1)^3-X^3=Y^2$$

Las soluciones pueden ser escritas si hacemos uso de las soluciones de la ecuación de Pell: $p^2-3s^2=1$

Entonces la solución puede ser escrito: $$X=\pm2ps-p^2$$ $$Y=p^2\mp3ps+3s^2$$

Si hacemos el cambio: $$q=2ps\pm(p^2+3s^2)$$ $$t=4ps\pm(p^2+3s^2)$$

A continuación, las soluciones son de la forma: $$Y=t^2-tq+q^2$$ $$X=t(t-2q)$$

Si hacemos el cambio: $$t=3ps\pm(p^2+3s^2)$$ $$q=4ps\pm(p^2+3s^2)$$

A continuación, las soluciones son de la forma: $$X=-4t(t+q)$$ $$Y=4t^2+6tq+3q^2$$

Hay fórmulas, pero tengo que reescribir ningún momento. Usted puede ver allí.

http://www.artofproblemsolving.com/blog/98941