por favor alguien puede ayudarme a mostrar para cada nonsurjective función continua de $S^2$ $S^2$no existe un punto fijo? creo que desde que la función no es surjective no contiene al menos un punto de $S^2$ así que es como una función de $S^2$ $R^2$y por Borsuk-Ulam existe un punto x s.t. f(x)=f(-x) pero no estoy seguro de si esto puede ayudar...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí hay dos maneras:
Usted puede utilizar su intuición. De hecho, un nonsurjective mapa de $f:S^2 \to S^2$ factores a través de un mapa de $\tilde{f}:S^2 \to \mathbb R^2$, y por lo tanto debe ser nullhomotopic.
En particular, $f_*:H_2(S^2,\mathbb R) \to H_2(S^2,\mathbb R)$ es el cero mapa.
En consecuencia, se puede aplicar la Lefschetz-punto fijo teorema para calcular el número de lefschetz
$\Lambda_f(S^2)=\sum_{i=0}^{2}(-1)^i\mathrm{Tr}(f_*)=1 \neq 0$ , por lo que el mapa tiene un punto fijo.
Mediante la observación de los otros (ahora suprimido) respuesta de que la imagen de $S^2$ es cerrado, podemos deducir que $S^2 \setminus f(S^2)$ es abierto y conectado, por lo que la elección de $x$ fuera de la imagen, y un pequeño vecindario $U$ a su alrededor, vemos que $f$ mapas de $S^2 \setminus U \to S^2 \setminus U$, donde se puede aplicar la Brower teorema de punto fijo.
