Función que satisface $f(x+ y) = f(x) + f(y)$ pero no $f(cx)=cf(x)$

Question

Hay una función de $ \Bbb R^3 \to \Bbb R^3$ tal que $$f(x + y) = f(x) + f(y)$$ but not $$f(cx) = cf(x)$$ for some scalar $c$?

Hay una tal función, incluso en una dimensión? Yo por lo que, ¿qué es? Si no, ¿por qué?

Me llegó a través de una función de $\Bbb R^3$ $\Bbb R^3$tal que $$f(cx) = cf(x)$$ but not $$f(x + y) = f(x) + f(y)$$, y me preguntaba si hay uno con las converse.

Aunque hay otro post titulado Resumen de los Hechos Básicos de Cauchy de las funciones con valores, yo no lo entiendo. Si alguien puede explicar en términos simples, la función que cumplir con mi pregunta y por qué, eso sería genial.

Answer 1

Tomar una $\mathbb Q$-función lineal $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ que no es $\mathbb R$-lineal y considere la función $g(x,y,z)=(f(x),f(y),f(z))$.

A ver como una función de $f$ existe un aviso de que $\{1,\sqrt{2}\}$ es linealmente independiente sobre $\mathbb Q$, por lo que hay un $\mathbb Q$-función lineal $f$ que envía a$1$$1$$\sqrt{2}$%#%. Así que, claramente, $1$ no $f$-lineal. ( Lema de Zorn se utiliza para esto).