$ \int_2^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}dx$ verificación de convergencia

Question

Quiero comprobar si la integral

$$ \int_2^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}\,dx $$

converge.

Aquí es lo que yo hice:

El uso de sustituciones:

$$ \int_2^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}\,dx=\frac{1}{2}\int_4^{\infty}\frac{1}{t\sqrt{t-4}}\,dt= \int_0^{\infty} \frac{1}{(u+4)\sqrt u}\,du. $$

Separar:

$$\int_0^{\infty} \frac{1}{(u+4)\sqrt u}\,du=\int_0^{1} \frac{1}{(u+4)\sqrt u}\,du+\int_1^{\infty} \frac{1}{(u+4)\sqrt u}\,du.$$

Para el primer plazo: $\displaystyle \int_0^{1} \frac{1}{(u+4)\sqrt u}\,du:$

$$\int_0^{1} \frac{1}{(u+4)\sqrt u}\,du=\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{(u+4)\sqrt u}\,du.$$

El uso de comperison prueba a $\dfrac{1}{\sqrt u},$ este término coverges.

Para el segundo plazo: $\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{(u+4)\sqrt u}\,du,$

utilizando la prueba de comparación a $\dfrac{1}{ u^{3/2}},$ este término converge.

Me gustaría saber si he cometido algún error. También, hágamelo saber si usted tiene alguna sugerencia para otras formas de resolver esto.

Answer 1

$$ \int_2^3 \frac {dx} {x\sqrt{x-2\,}\sqrt{x+2\,}} \le \int_2^3 \frac{dx}{\sqrt{x 2}} < +\infty $$ y $$ \int_3^\infty \frac{dx}{x\sqrt{x^2-4}} \le \int_3^\infty \frac{2\,dx}{x^2} < +\infty. $$ Para esta segunda desigualdad se necesita demostrar que $\sqrt{x^2-4\,} \ge \dfrac x 2$ al $x\ge3.$

Answer 2

Sí es correcto.

Como una alternativa, sin cambio de variables, se puede observar que para $x$ grandes

$$\frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}\sim\frac1{x^\frac32}$$

y se refieren a limitar la prueba de comparación con $\int_3^{\infty} \frac1{x^\frac32}\, dx$ $x\to 2^+$

$$\frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}=\frac{1}{x \sqrt{x+2}\sqrt{x-2} }\le\frac14 \frac{1}{\sqrt{x-2} }$$

y se refieren a la prueba de comparación con $\int_2^3 \frac{1}{\sqrt{x-2} }\, dx$.