$\mathbb{Z}$ homeomorfo a $X=\left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},... \right\}$ ?

Question

Es $\mathbb{Z}$ homeomorfo a $X=\left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},... \right\}$ ? (Cada conjunto está dotado de la topología del subespacio inducido por $\mathbb{R}$ )

Supongo que la respuesta es sí, ya que ambos son discretos (por lo que todo subconjunto es abierto) y tienen la misma cardinalidad. ¿Es esto suficiente?

Answer 1

Desde $\mathbb Z$ y $X$ tienen la misma cardinalidad, existe un mapa biyectivo $f : X \to \mathbb Z$ .

Dado que ambos $X$ y $\mathbb Z$ tienen la topología del subespacio inducida por $\mathbb R$ (con la topología estándar), ambos son discretos.

$f$ y $f^{-1}$ son mapas abiertos, ya que llevan a los monotonos a conjuntos abiertos, y todo conjunto abierto puede escribirse como una unión de monotonos.