Soluciones a la medida!

Question

ps

¿Puedes dar un ejemplo no trivial de una secuencia real que satisfaga esta ecuación? Por "trivial" me refiero a secuencias tales como$$\sum_n^\infty{a_n} = \prod_n^\infty{(a_n+1)}$ que dan como resultado que la serie y el producto infinito sean cero.

Answer 1

Reescribe:$$a_1+\sum_{n=2}^\infty a_n=(a_1+1)\prod_{n=2}^\infty (a_n+1)$ $ Solo configura$$a_1=\frac{\prod_{n=2}^\infty (a_n+1)-\sum_{n=2}^\infty a_n}{1-\prod_{n=2}^\infty (a_n+1)}$ $

Esto significa que tiene una cantidad inmensamente infinita de soluciones. Casi cualquier secuencia para la cual el producto existe está bien, si solo la prefiges con un primer término que satisfaga la condición anterior.

La secuencia$\{a_1,1,0,0,0,\ldots\}$ es solo un ejemplo, pero cualquier otra está bien.

Answer 2

Deje$$f(x) = \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x(-1)^n}{n^2}\right) - \sum_{n=1}^\infty \frac{x(-1)^n}{n^2}$ $

entonces$f$ es continuo con$f(0) = 1$ y$f(-3) < - 1$. Por el teorema del valor intermedio, existe un$x\in(-3,0)$ st$f(x) =0$. Numéricamente, encontramos$x\approx −2.02467$.