Creo que la respuesta es no
Pensé mucho acerca de este problema. Mi idea era construir una secuencia $(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A$ tal que, dado un $x \in \ell^2$ recogemos las N primeras componentes de $y \in A$ $(y_1,y_2, \dots, y_N)=(x_1, \dots, x_N)$ y tratar de hacer las $\|x-y\| < \varepsilon$. $$ \|x-y\|^2=\sum_{n=1}^\infty |x_n-y_n|^2=\sum_{n=N+1}^\infty |x_n-y_n|^2 \leq 2\sum_{n=N+1}^\infty x_n^2+y_n^2$$
Ahora como $y \in A$ también ha de satisfacer la condición de $\sum_{n=1}^\infty \frac{y_n}{n}=0$, Pero a partir de Cauchy-Schwarz desigualdad (como $y \in \ell^2$ $\frac{1}{n} \in \ell^2$ tenemos que $\sum_{n=1}^\infty \frac{y_n}{n} \leq (\sum_{n=1}^\infty y_n^2)^{\frac{1}{2}} (\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2})^{\frac{1}{2}}$ y por lo tanto si $\sum_{n=1}^{N}\frac{y_n} {n}=-a$ $\implies$ $\sum_{n=N+1}^\infty \frac{y_n} {n}=a$
Y de ello se deduce que $a \leq (\sum_{n=N+1}^\infty y_n^2)^{\frac{1}{2}} \pi/{\sqrt{6}}$
Ahora como $y \in \ell^2 \implies \lim_{n\ \to \infty} y_n =0$ e si $a$ es lo suficientemente grande no podemos aproximar $x$ $y$ porque necesito tanto $\sum_{n=N+1}^{\infty} x_n^2 <\epsilon/4$$\sum_{n=N+1}^{\infty} y_n^2 <\epsilon/4$. En el caso de $(x_n)_n$ siempre podemos elegir un $N$ suficientemente grande, pero debido a la mencionada argumento , no podemos asegurar que ese $y \in A$ existe.
Es la idea de la prueba correcta? Lo que me molesta es que no podría ser otra manera de construir la secuencia de $(y_n)_n$ que podría funcionar. Gracias
