Probar que un subconjunto de $ \mathbb{H}^{2} \times \mathbb{H}^{2} $ está conectado.

Question

Ya sabemos que el plano hiperbólico $\mathbb{H^{2}}$ es espacio métrico con la métrica $ d_{H}(z,w) = 2 \tanh^{-1} \frac{ \mid z - w \mid}{ \mid z - \overline{w} \mid }$ donde $ z, w \in \mathbb{H^{2}}$. Ahora vamos a definir la función de distancia en $\mathbb{H^{2}} \times \mathbb{H^{2}} $ dada por $$ \gamma(z,w) = ( (d_{H}(z_{1},w_{1}))^{2} + (d_{H} z_{2},w_{2}))^{2})^{\frac{1}{2}} $$ donde $$ z = ( z_{1}, z_{2}) , w = (w_{1}, w_{2}) \in \mathbb{H^{2}} \times \mathbb{H^{2}}.$$

Ahora consideremos el conjunto $ E (z,w) = \lbrace x \in \mathbb{H^{2}} \times \mathbb{H^{2}} \mid \gamma( x, z) = \gamma ( x, w) \rbrace $ donde $ x = ( x_{1}, x_{2} )$. Quiero demostrar que la $E(z,w)$ está conectado conjunto. si $ z_{1} = w_{1}$ o $z_{2} = w_{2}$, en el caso de $E (z,w)$ es simplemente el producto de la $ \mathbb{H^{2}}$, con una línea recta y por lo tanto conectado. Pero si $z_{i} \neq w_{i}$$ i = 1 , 2$, En ese caso, ¿por qué está conectado? Algunos pueden ayudar en la realización de la prueba?

Answer 1

Aún más, es cierto. Supongamos que $M$ es simplemente conectado completa de Riemann colector de valor no positivo de curvatura (un Hadamard del colector). (Su espacio es Hadamard, ya que es el producto de dos espacios hiperbólicos.) Voy a denotar $d$ la de Riemann función de distancia en $M$ $xy$ de la línea geodésica segmento que conecta $x$$y$. Para $x, y\in M$ definir la bisectriz $$ B(x,y)=\{z\in M: d(z,x)=d(z,y)\}, $$ abierta la mitad de los espacios de $$ V(x,y)=\{z\in M: d(x,z)< d(z,y)\} $$ y cerrado la mitad de los espacios de $$ \bar{V}(x,y)=\{z\in M: d(x,z)\le d(z,y)\}. $$ Está claro que abrir la mitad de los espacios están abiertos los subconjuntos de a $M$ y cerró los subespacios son subconjuntos cerrados.

Teorema. Para cualquier par de puntos de $x, y\in X$ de la bisectriz $B(x,y)$ está conectado. Además, $B(x,y)$ es acíclicos: $\tilde{H}^i(B(x,y))=0$ todos los $i\ge 0$.

Prueba. Yo primero establecer algunas propiedades básicas de la mitad de los espacios y bisectrices. Recordemos que un subconjunto $A\subset M$ es en forma de estrella con respecto a $x\in A$ si $xa\subset A$ todos los $a\in A$. Desde geodésica segmentos de $xa$ dependen continuamente en $a$, cada estrella-como subconjunto es contráctiles.

Lema 1. $V(x,y), \bar{V}(x,y)$ son en forma de estrella con respecto a $x$. Por otra parte, para cada $a\in B(x,y)$, $xa\cap B(x,y)=\{a\}$.

Prueba. Se sigue de la desigualdad de triángulo. qed

Para cada par $x, y$ se define de la siguiente subconjunto $A(x,y)\subset \bar{V}(x,y)$: $$ A(x,y)=\bigcup_{z\in B(x,y)} zx - \{x\}.$$

Para cada una de las $a\in M -\{x\}$ definir la línea geodésica ray $r_a: [0,\infty)\to M$ con $r_a(0)=x$, $a\in R_a=r_a([0,\infty))$. A continuación, $A(x,y)$ es el conjunto de puntos de $a\in V(x,y)-\{x\}$ que $R_a\cap B(x,y)$ es no vacío y, por lo tanto, es un singleton $\{b\}$. Set $f_{x,y}(a):=b$.

Lema 2. El mapa de $f_{x,y}: A(x,y)\to B(x,y)$ es surjective y continua.

Prueba. Surjectivity es clara; la continuidad de la siguiente manera continua dependencia de $r_a$$a$. qed

Por lo tanto, $f_{x,y}$ es una retracción de $A(x,y)$$B(x,y)$. Por otra parte, este mapa es una deformación de retracción, un homotopy-equivalencia $A(x,y)\to B(x,y)$. Esto se desprende de la continuidad del mapa $a\mapsto d(a, f_{x,y}(a))$, $a\in A(x,y)$.

Lema 3. Para todos $x, y\in M$, $A(x,y)$ está abierto en $\bar{V}(x,y)$.

Prueba. Tome $a\in A(x,y)$; después de la línea geodésica ray $r=r_a: [0,\infty)\to M$ satisface $R_a\cap B(x,y)\ne\emptyset$. Por lo tanto, no existe $t_0$ tal que $r(t_0)\in V(y,x)$. Considere la posibilidad de una secuencia $a_i\to a$, $a_i\in V(x,y)$. Yo reclamo que $a_i$ pertenece a $A(x,y)$ grandes $i$; esto implica que el $a$ está en el interior de $A(x,y)$ y, por lo tanto, $A(x,y)$ está abierto. Para cada una de las $a_i$ definir la línea geodésica ray $r_i:=r_{a_i}$; a continuación,$\lim_{i\to\infty} r_i=r$. Por lo tanto $$ c_i=r_i(t_0)\c=r_(t_0)\in V(y,x).$$ Por tanto, para todos lo suficientemente grande $i$, $c_i\in V(y,x)$. Por el teorema del valor intermedio, el segmento de $xc_i$ tiene intersección no vacía con $B(x,y)$ para todos los gran $i$. \qed

Defina los siguientes subconjuntos abiertos de $M$: $$ U(x,y)= V(x,y) \cup(y,x) $$ $$ W(x,y)= U(x,y)\cap U(y,x). $$ El subconjunto $U(x,y)$ deformación se retrae a $\bar{V}(x,y)$ por el mapa, que es la identidad en $V(x,y)$ y es igual a $f_{y,x}$$A(y,x)$. En particular, $U(x,y)$ es homotopy-equivalente a $\bar{V}(x,y)$ y, por lo tanto, es contráctiles. Del mismo modo, tenemos una deformación de retracción $W(x,y)\to B(x,y)$ define el uso de los mapas de $f_{x,y}, f_{y,x}$. Por lo tanto, $W(x,y)$ es homotopy-equivalente a $B(x,y)$. Por último, tenga en cuenta que $$ M= U(x,y) \cup U(y,x). $$

Ahora, podemos probar acyclicity de $B(x,y)$. Por las consideraciones anteriores, es suficiente para demostrar acyclicity de $W(x,y)$. Tenemos el de Mayer-Vietoris secuencia (de la reducción de la homología de grupos) asociado con el anterior abra la cubierta de $M$: $$ ... \a 0= \tilde{H}_{i+1}(M) \a \tilde{H}_i(W(x,y))\a \tilde{H}_i(U(x,y))\oplus \tilde{H}_i(U(y,x))=0 \a ... $$ desde $M$ $U(x,y), U(y,x)$ son todos contráctiles. Por lo tanto, $\tilde{H}_i(W(x,y))=0$ todos los $i$ y, por lo tanto, $B(x,y)$ es acíclico. qed

Observación. Aquí es lo que yo no sé:

1. Es $B(x,y)$ contráctiles? (Edit: en realidad, sí.)

2. Es un (suave) submanifold? (Edit: en Realidad, sí.)

3. Homeomórficos a $R^{n-1}$ donde $n=dim(M)$?

Edit. $B(x,y)$ es de hecho un suave submanifold lo que significa que el Lema 1 es suficiente para la prueba del teorema como uno puede usar el tubular barrio teorema de lugar de la construcción explícita de la vecindad $W(x,y)$$B(x,y)$. El hecho de que $B(x,y)$ es liso puede ser visto teniendo en cuenta la función de $h(z)= d^2(z,x)- d^2(z,y)$. Por trabajar más duro se puede ver que esta función es a ${\mathbb R}$, y que cada línea de gradiente de $h$ cruza cada nivel de $h$ al menos (y, por lo tanto, exactamente) una vez. Esto implica que $M$ es diffeomorphic a $B(x,y)\times {\mathbb R}$: Enviar $z\in M$ a la par $(z_0, h(z))$ donde $z_0\in B(x,y)$ es el punto de intersección de la línea de gradiente de $h$ a través de $z$ con la bisectriz $B(x,y)$. A continuación, se deduce que el $B(x,y)$ es contráctiles. Sin embargo, a priori, no es homeomórficos a $R^{n-1}$ como el producto de la Whitehead colector $W^3$ $R$ es diffeomorphic a $R^4$, pero $W^3$ no es homeo a $R^3$.