Demostrar que si H es un subgrupo de G, entonces H es un subgrupo normal de G si $\forall x, y \in G$ , xy $\in$ H si yx $\in$ H.

Question

Así que el problema es el siguiente:

Demuestre que si H es un subgrupo de G, entonces H es un subgrupo normal de G si se cumple la siguiente condición : $$\forall x,y \in G, xy \in H \iff yx \in H$$

Ya está todo terminado:

Se da que H es un subgrupo de G.

( $\def\impl{\;\Rightarrow\;}\impl$ ) Supongamos que H es un subgrupo normal de G. Entonces $$\forall h \in H, \forall g \in G, ghg^-1 \in H.$$ Supongamos que $$\forall x,y \in G, xy \in H.$$ Como H es un subgrupo normal de G y $$y \in G,$$ sabemos $$y(xy)y^-1\in H \impl yx(yy^-1)\in H \impl yxe \in H \impl yx \in H.$$ Del mismo modo, supongamos que $$\forall x,y \in G, yx \in H.$$ Como H es un subgrupo normal de G y $$x \in G,$$ sabemos $$x(yx)x^-1\in H\impl xy(xx^-1)\in H\impl xye \in H\impl xy \in H.$$

( $\;\Leftarrow\;$ ) Supongamos $$\forall x,y\in G, xy\in H \iff yx \in H.$$ Ahora dejemos que $$a=yx \impl xa=x(yx) \impl (xa)x^-1=(xy)xx^-1 \impl xax^-1 = xy.$$ Así que $$ \forall x\in G, \forall a\in H, a \in H \impl xax^-1 \in H.$$ Por tanto, H es un subgrupo normal de G.

Answer 1

Obsérvese en primer lugar que los elementos $xy$ y $yx$ son conjugados, ya que $$ x^{-1} (xy) x = y x. $$ Por el contrario, si $a$ y $b$ son conjugados, $b = z^{-1} a z$ , digamos, entonces $$ b = (z^{-1} a) z, \quad a = z (z^{-1} a) $$ así que $a = xy$ y $b = yx$ , para $x = z$ y $y = z^{-1} a$ .

Ahora utiliza el definición de subgrupo normal .