4 votos

¿Por qué esta manipulación de la suma es incorrecta?

Permita que$(a_n)$ con$a_n \in \mathbb{R}$ sea tal que

ps

¿Por qué está mal el seguir? (¿O es correcto?)

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Parece extraño que la suma se evalúe como$$\sum_{k = 0}^{\infty}\sum_{r = 0}^{2k}\Bigl|\frac{(-1)^k(2\pi)^{2k} a_r}{(2k - r + 1)!}\Bigr|< \infty$.

4voto

Marco Cantarini Puntos 10794

Otra forma similar de ver que funciona $$ \ sum_ {r \ geq0} \ sum_ {2k \ geq r} \ frac {\ left (-4 \ pi ^ {2} \ right) ^ {k} a_ {r} } {\ left (2k-r +1 \ right)!} = \ sum_ {r \ geq0} a_ {r} \ left (-4 \ pi ^ {2} \ right) ^ {- r / 2} \ sum_ {m \ geq0} \ frac {\ left (-4 \ pi ^ {2} \ right) ^ {m / 2}} {\ left (m +1 \ right)!} = \ frac {1} {2 \ pi i} \ sum_ {r \ geq0} a_ {r} \ left (-4 \ pi ^ {2} \ right) ^ {- r / 2} \ sum_ {m \ geq1} \ fract {\ left (2 \ pi i \ right) ^ {m}} {m!}$$ $ $ = \ frac {1} {2 \ pi i} \ sum_ {r \ geq0} a_ {r} \ left (-4 \ pi ^ {2} \ right) ^ {- r / 2} \ left (e ^ {2 \ pi i} -1 \ right) = 0. $$

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