Partición suave de la unidad: problemas para verificar el detalle en Folland

Question

He consultado el libro Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales de Folland (1995, segunda edición, Princeton University Press) para la demostración de cierto teorema, pero tengo problemas para verificar un detalle menor.

Antes de presentar lo que me cuesta, permítanme presentar el teorema y la prueba tal y como lo escribe Folland en la página 13 del libro mencionado. (Si $V$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ , escribe Folland $C_c^\infty(V)$ para el espacio de funciones suaves sobre $\mathbf{R}^n$ cuyo soporte es compacto y está contenido en $V$ .)

(0,19) Teorema Dejemos que $K \subset \mathbb{R}^n$ sea compacto y que $V_1, \dotsc, V_N$ sean conjuntos abiertos acotados tales que $K \subset \bigcup_1^N V_j$ . Entonces existen funciones $\zeta_1, \dotsc, \zeta_N$ con $\zeta_j \in C_c^\infty(V_j)$ tal que $\sum_1^N \zeta_j = 1$ en $K$ .

Prueba Dejemos que $W_1, \dotsc, W_N$ sea como en el lema (0.18). [Comentario: esto significa que el $W_j$ están abiertos, cubren $K$ y $\overline{W_j} \subset V_j$ .] Por el teorema (0.17), podemos elegir $\phi_j \in C_c^\infty(V_j)$ con $0 \le \phi_j \le 1$ y $\phi_j = 1$ en $\overline{W_j}$ . Entonces $\Phi = \sum_1^N \phi_j \ge 1$ en $K$ , por lo que podemos tomar $\zeta_j = \phi_j/\Phi$ con el entendimiento de que $\zeta_j = 0$ donde $\phi_j = 0$ .

Para mis aplicaciones sólo me interesa demostrar que el $\zeta_j$ pertenecen a $C_c^1(V_j)$ y estoy teniendo problemas para verificar que son continuamente diferenciable pero todo lo demás está bien. Es más, en mis aplicaciones no asumo que el $V_j$ están acotados, y agradecería una respuesta que no se base en su acotación. Hay que tener en cuenta que el $\overline{W_j}$ puede seguir siendo compacto en este caso. Lo que sigue es mi progreso.

Escoge $j \in I$ y definir $A_j = \{ x \in \mathbb{R}^n : \phi_j(x) > 0 \}$ un conjunto abierto. Nótese que $\text{supp } \phi_j = \overline{A_j}$ ya que $\phi_j \ge 0$ por la construcción.

1. En primer lugar, $\phi_j = 0$ en el conjunto abierto $\mathbf{R}^n \setminus \overline{A_j}$ Por lo tanto, lo mismo ocurre con $\zeta_j$ . Vemos que $\zeta_j$ es continuamente diferenciable en $\mathbf{R}^n \setminus \overline{A_j}$ .

2. En segundo lugar, hay que $\phi_j > 0$ y $\Phi > 0$ en $A_j$ y ambas funciones son continuamente diferenciables. Por lo tanto, lo mismo debe ser cierto para $\zeta_j$ en el conjunto abierto $A_j$ .

Lo que queda es demostrar que las derivadas parciales de $\zeta_j$ existen y son continuas en la frontera $\partial A_j$ Y aquí es donde estoy teniendo problemas. Sin embargo, he demostrado que $\zeta_j = 0$ en $\partial A_j$ . Para considerar un punto $x \in \partial A_j$ , y elegir una secuencia $(x_m)_1^\infty$ en $\mathbb{R}^n \setminus A_j$ convergiendo a $x$ . Utilizando la continuidad de $\phi_j$ , uno tiene $0 = \phi_j(x_m) \to \phi_j(x)$ y así $\phi_j(x) = 0$ Por lo tanto $\zeta_j(x) = 0$ .

¿Puede alguien ayudarme a verificar que las derivadas parciales de $\zeta_j$ existen y son continuas en $\partial A_j$ ?

Answer 1

Es bueno que tengas problemas para demostrar que la función dada es continuamente diferenciable. Ni siquiera es continua, y mucho menos continuamente diferenciable.

La prueba del libro no es sólida tal y como está escrita. Considere el caso simple $N=1$ . El lema 0.18 da el enunciado en este caso, pero veamos lo que produce la prueba dada. El lema da una función $\phi_1\in C_c^\infty(V_1)$ para lo cual $0\leq\phi_1\leq1$ y $\phi_1|_K\equiv1$ . Ahora $\Phi=\phi_1$ , por lo que obtenemos la función $\zeta_1=\phi_1/\Phi=\chi_{A_1}$ . Esta es la función característica del conjunto $A_1$ que ni siquiera es continua en $\partial A_1$ ¡! Este problema no es exclusivo de $N=1$ pero es más claro en este caso.

Pero la esperanza no está perdida: la prueba puede repararse eligiendo las funciones de forma ligeramente diferente.

Para que la prueba funcione, hay que aplicar un corte adicional a $\zeta_j$ . Sea $\Phi$ denotan la misma suma que en su prueba. Por argumentos de continuidad y compacidad existe un conjunto abierto $W$ para que $K\subset W$ y $\min_{\overline W}\Phi=m>0$ . Por el lema 0.18 existe una función $\psi\in C_c^\infty(W)$ para lo cual $0\leq\psi\leq1$ y $\psi|_{K}\equiv1$ . Definir $\psi_j=\psi\phi_j/\Phi$ .

En el plató $K$ estas funciones suman uno como se desea: $\sum_{j=1}^N\psi_j(x)=1$ para todos $x\in K$ . Queda por demostrar que son suaves. En el conjunto $W$ la función $1/\Phi$ es una función suave acotada. (Esto no es cierto en todo el espacio, ya que $\Phi$ se apoya de forma compacta). Cada $\psi_j$ se apoya de forma compacta en $W$ y en este conjunto $W$ la función $\psi_j=\psi\phi_j/\Phi$ es suave como el producto de tres funciones suaves. Fuera del conjunto $W$ declaramos $\psi_j=0$ Esto no afecta a la suavidad, ya que $\psi_j$ tiene soporte compacto en el conjunto abierto $W$ .

La cuestión es que la división por $\Phi$ es problemático cuando $\Phi$ es o va a cero. Por lo tanto, es útil observar un conjunto en el que $\Phi$ es estrictamente positivo (para que la división no sea un problema) pero es mayor que $K$ (para que el valor constante deseado no se vea afectado). Este es precisamente el propósito del conjunto $W$ .

Como observación adicional, suponiendo la acotación de los conjuntos $V_j$ no tiene ningún efecto sobre este resultado: la versión para cualquier conjunto abierto se deduce de la versión para conjuntos abiertos acotados. Dado que $K$ es compacto, está contenido en alguna gran bola abierta $B(0,R)$ . Asumiendo que has demostrado el resultado para conjuntos acotados, puedes aplicarlo para $\tilde V_j=V_j\cap B(0,R)$ . Las funciones resultantes tienen las propiedades deseadas para los conjuntos originales $V_j$ .