Verdadero o falso: $\left|\max\limits_{x\in D}f(x) - \max\limits_{x\in D}g(x)\right| \leq \max\limits_{x\in D}\left|f(x)-g(x)\right|$

Question

¿Es esto cierto o falso?

$$\left|\max\limits_{x\in D}f(x) - \max\limits_{x\in D}g(x)\right| \leq \max\limits_{x\in D}\left|f(x)-g(x)\right|$$

Sé que es una pregunta fácil pero se me olvidan todos los análisis. Gracias por su ayuda

Answer 1

Wlog. $\max f(x)\ge \max g(x)$ . Si $f(x_0)=\max f(x)$ entonces $$\max|f(x)-g(x)|\ge f(x_0)-g(x_0)= \max f(x)-g(x_0)\ge \max f(x)-\max g(x)$$

Answer 2

Sí, es cierto, pero prefiero sustituir $\max$ con $\sup$ .

Desde $\sup\limits_{t\in D}g(t)\geq g(x)$ para todos $x\in D$ se deduce que $$f(x)-\sup\limits_{t\in D}g(t)\leq f(x)-g(x)\leq |f(x)-g(x)|$$ lo que implica $$\sup\limits_{x\in D}f(x)-\sup\limits_{t\in D}g(t)\leq \sup\limits_{x\in D}|f(x)-g(x)|.$$ Del mismo modo, por simetría, $$\sup\limits_{x\in D}g(x)-\sup\limits_{t\in D}f(t)\leq \sup\limits_{x\in D}|f(x)-g(x)|.$$ Por lo tanto, $$\left|\sup\limits_{x\in D}f(x)-\sup\limits_{x\in D}g(x)\right|\leq \sup\limits_{x\in D}|f(x)-g(x)|.$$