límite de un subconjunto de un subespacio de un espacio topológico dado

Question

Supongamos $T$ topológico, espacio y $S\subseteq T$ un subespacio equipado con la topología de subespacio heredado de $T$. Tomar un subconjunto $H\subseteq S$. Me gustaría demostrar que $\partial_S H=S\cap \partial_T H$ (donde $\partial_X A$ indica el límite de $A$$X$), pero sospecho que esto es cierto sólo si $S$ está abierto en $T$. En primer lugar he mostrado $\partial_S H\subseteq S\cap \partial_T H$ como sigue: $x\in \partial_S H$ si y sólo si para cada (abierto) de vecindad $U\subseteq S$ $x$ $U\cap H\neq\emptyset$ $U\cap H^c\neq\emptyset$ mantener. Ahora, si $V$ está abierto en $T$ $U=V\cap S$ está abierto en $S$$U\cap H, U\cap H^c\neq\emptyset$, por lo que, en particular,$V\cap H, V\cap H^c\neq\emptyset$.

Para la otra inclusión, tome $x\in S\cap\partial_T H$. Entonces, si $U=V\cap S$ está abierto en $S$ (donde $V$ está abierto en $T$), nos gustaría decir que $U\cap H\neq\emptyset$ (de manera similar para $H^c$), pero debemos de utilizar que U es abierto también en $T$, lo cual es cierto si $S$ está abierto en $T$.

Ahora, si esta prueba no es correcta, estoy a través de $S$ abierta en $T$. ¿Qué podemos decir de otra manera? Son las declaraciones correspondientes para el interior y el cierre de $H$ todavía verdad? (Supongo que por eso, con una casi idéntica a prueba!)

Gracias, bye!

Answer 1

Considere el caso donde $S$ ha vacío límite en $T$ que se cruza con $S$, y deje $H=S$. Entonces trivialmente $\partial_S H = \partial_S S = \emptyset$, pero $\partial_T S\cap S \neq\emptyset$.

Por ejemplo, tome $S=[0,1]$$T=\mathbb{R}$$H=[0,1]$. A continuación,$\partial_T H = \partial_T([0,1]) = \{0,1\}$.

Sin embargo, $\partial_S H = \emptyset$, debido a que no $S$-barrio de $H$ se cruza con el complemento de $H$$S$.

Si quieres un ejemplo con $H\neq S$, luego tomar $H=(0,1]$ y $S$, $T$ como antes. A continuación,$\partial_T(H)\cap S = \{0,1\}$, pero $\partial_S(H) = \{0\}$.

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Por otro lado, siempre es cierto que $\partial_S H\subseteq \partial_T H\cap S$:

Deje $x\in \partial_S H$, y deje $U$ ser un conjunto abierto de $T$ que contiene $x$. A continuación, $U\cap S$ está abierto en $S$ y contiene $x$, por lo tanto $$\varnothing \neq H\cap (U\cap S) = (H\cap S)\cap U = H\cap U.$$ Por lo $H\cap U\neq\varnothing$. Y $$\varnothing \neq (S-H)\cap (U\cap S) \subseteq (T-H)\cap U,$$ por lo tanto $U\cap (T-H)\neq \varnothing$. Por lo tanto $x\in \partial_T H$, como se reivindica.

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Usted debe ser muy cuidadoso con el complemento: tenga en cuenta que usted tiene dos diferentes nociones de "$H^c$" en juego en la situación anterior: existe el complemento de $H$ $S$, y el complemento de $H$$T$. Es probablemente mejor usar $S-H$ $T-H$ en sus argumentos, para evitar la posible confusión (aunque, por supuesto, $S-H\subseteq T-H$).

Answer 2

Por definición, el conjunto$S$ visto en su subespacio no tiene puntos de límite. Visto en el entorno de su espacio padre$T$, puede tener límites: vea este diagrama .