Si $(x^2-5x+4)(y^2+y+1)<2y$ para todos los valores reales de $y$ entonces qué intervalo hace $x$ ¿pertenece a?

Question

Bien, estoy atascado en este caso durante mucho tiempo:

Si $(x^2-5x+4)(y^2+y+1)<2y$ para todos los valores reales de $y$ entonces qué intervalo hace $x$ ¿pertenece a?

Mi intento: Desde $y$ puede tomar cualquier valor real, probé a multiplicar los dos primeros términos y formé una ecuación cuadrática en $y$ con sus coeficientes y el término constante en términos de $x$ . Entonces apliqué las dos condiciones como:

1. Coeficiente de $y^2$ debe ser negativo ; y

2. El discriminante también debe ser negativo.

¿Estoy en lo cierto? ¿Qué estoy haciendo mal? ¿Existe un enfoque mejor para resolver problemas similares a éste? Por favor, hágamelo saber.

Answer 1

dejar $a = (x^2 - 5x + 4)$

¿Para qué valores de $a$ es

$a(y^2 + y + 1)< 2y$ ?

$(ay^2 + (a-2) y + a)< 0$ para todos $y$

$a<0$ y $(ay^2 + (a-2) y + a)$ no tiene ninguna raíz real.

$(a-2)^2 - 4a^2 < 0\\ -3a^2 - 4a + 4 <0\\ -(3a -2)(a+2)<0$

$a<- 2$

$x^2 - 5x + 4 < - 2$

y resolver para $x$

Answer 2

$$(x^2−5x+4)(y^2+y+1)<2y$$

$y^2+y+1$ es positivo, porque es más pequeño en $y=-\frac{1}{2}$ y sustituyendo eso se obtiene algo positivo.

Por lo tanto, podemos dividir por $y^2+y+1$ sin cambiar la dirección de la desigualdad.

$$x^2−5x+4<\frac{2y}{y^2+y+1}$$

Queremos que esto sea cierto para todos los valores de $y$ . En particular, tiene que ser cierto cuando el $ \frac{2y}{y^2+y+1}$ está en su punto más bajo, que es cuando impone la mayor restricción en el lado izquierdo.

Para minimizar $\frac{2y}{y^2+y+1}$ se puede observar dónde su derivada cambia de signo de negativo a positivo (que es en $y=-1$ ) o hacer el truco que hizo DougM en la otra respuesta (ponerlo igual a $a$ y encontrar el más pequeño $a$ para la cual la cuadrática en $y$ todavía tiene solución). En cualquier caso, el valor mínimo es $-2$ .

Esto da: $$x^2−5x+4<-2\\ (x-5/2)^2-25/4+4<-2\\ (x-5/2)^2<1/4\\ -1/2<x-5/2<1/2\\ 2<x<3$$

Answer 3

En primer lugar, observe que $y^2+y+1$ es positivo para todos los valores reales de $y$ .

Esto significa que podemos dividir por $y^2+y+1$ en ambos lados de la desigualdad, sin tener que preocuparse por los valores negativos que cambiarían la dirección de la desigualdad.

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Dividir por $y^2+y+1$ en ambos lados:

$$x^2 -5x + 4 < \frac{2y}{y^2+y+1}$$

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Podemos encontrar los mínimos y máximos de la función racional de $y$ en el lado derecho, tomando su derivada y haciéndola igual a cero:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{2y}{y^2+y+1}\right) = 0$$

$$\frac{2-2y^2}{\left(y^2+y+1\right)^2}=0$$

Como el denominador es siempre positivo, podemos simplemente eliminarlo y dividir por $2$ :

$$1-y^2 = 0$$

$$y=\pm 1$$

Esto significa que $2y/\left(y^2+y+1\right)$ alcanza un valor mínimo de $-2$ en $y=-1$ y alcanza un valor máximo de $2/3$ en $y=1$ . Por lo tanto,

$$-2 \leq \frac{2y}{y^2+y+1}\leq \frac{2}{3}$$

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En los valores límite del lado derecho, la desigualdad se convierte en

$$x^2 - 5x + 4 < -2\,\, \implies\,\, x^2 - 5x + 6 < 0$$

$$x^2 - 5x + 4 < \frac{2}{3}\,\, \implies\,\, x^2 -5x + \frac{10}{3} <0 $$

Aquí, la primera desigualdad es un límite más estricto para $x$ que la segunda desigualdad, por lo que sólo podemos considerar la primera: $$x^2 - 5x + 6 < 0$$

El factoring da:

$$(x-2)(x-3)<0$$

Se trata de una parábola cóncava hacia arriba con ceros en $x=2$ y $x=3$ . Esto significa que el rango de valores para los que la cuadrática es negativa es exactamente entre las dos raíces:

$$\boxed{2 < x < 3\,}$$