Intersección de conjuntos densos

Question

Para mi final de Topología de ayer, demostré que la intersección de dos conjuntos densos abiertos es de nuevo un conjunto denso. Utilicé el hecho de que un conjunto $A$ ser denso en un espacio $X$ equivale a $X - A$ teniendo el interior vacío.

Sin embargo, mi prueba sólo parecía utilizar el hecho de que uno de los dos conjuntos estaba abierto. Mi pregunta es, ¿podemos salirnos con la nuestra? Dado un conjunto denso abierto $U_1$ y un conjunto denso $U_2$ es $U_1 \cap U_2$ ¿es necesariamente denso? Evidentemente, la pregunta no es cierta si ninguno de los dos conjuntos es abierto, pero no se me ocurre un contraejemplo cuando sólo un conjunto es abierto.

Answer 1

Sí, basta con que uno de los conjuntos densos sea abierto.

Dejemos que $V$ sea cualquier conjunto abierto no vacío. Entonces $V \cap U_1$ es un conjunto abierto no vacío, ya que $U_1$ es denso y abierto, y como $U_2$ es denso, tenemos $(V\cap U_1) \cap U_2 \neq \varnothing$ .

Así, todo conjunto abierto no vacío tiene intersección no vacía con $U_1\cap U_2$ y eso significa precisamente que $U_1 \cap U_2$ es denso.

Answer 2

Supongamos que $U$ es un subconjunto abierto denso de $X$ y $D$ es cualquier subconjunto denso de $X$ . Dejemos que $V$ sea un conjunto abierto no vacío en $X$ Entonces $V\cap U$ es un conjunto abierto no vacío, por lo que $V\cap U\cap D\ne\varnothing$ . Así, $U\cap D$ es efectivamente denso en $X$ .