Integral de la ruta en la cuantización de la gravedad general

Question

En la Ref. 1 he visto que la acción debe contener solo la primera derivada de la métrica, como lo requiere el enfoque de integral de camino. No entiendo por qué. Quiero decir, ¿por qué el enfoque de integral de camino de cuantización requiere que la acción contenga solo una primera derivada de la métrica?

Referencias:

1. Gibbons & Hawking, Integrales de Acción y Funciones de Partición en la Gravedad Cuántica, Phys. Rev. D 15 (1977) 2752; Sección II.

Answer 1

Requerir solo primeras derivadas en una acción es necesario porque las derivadas de mayor orden en el tiempo llevan genéricamente a inestabilidades fantasma en la teoría de campos. Esto se conoce como "inestabilidad de Ostragradsky", ver la excelente referencia de Richard Woodard que discute los tipos de problemas que surgen cuando este tipo de inestabilidad está presente.

El problema principal con la inestabilidad de Ostragradsky es que los grados de libertad fantasma que se introducen debido a las derivadas de mayor orden en el tiempo llevan energía cinética negativa, y por lo tanto permiten que el sistema decaiga en estados altamente excitados que consisten en grandes cantidades de energía positiva y negativa que se cancelan entre sí. Estos infinitos estados de energía cero tienden a hacer que la teoría cuántica sea indefinida. En el marco de la cuantización canónica, una vez que te aseguras de que el espacio de Hilbert tiene un producto interno definido positivo, encuentras que estos estados de energía cero llevan al decaimiento inmediato del vacío, por lo que probablemente no sea posible definir una dinámica unitaria con tu Hamiltoniano (a veces, se dice que los grados de libertad fantasma llevan a estados de norma negativa. Esto es solo un lado diferente del mismo problema: si exiges que los estados tengan energía positiva, encuentras que tienen norma negativa, mientras que si exiges que tengan norma positiva (lo cual es esencial para la mecánica cuántica), encuentras que tienen energía negativa).

Esta enfermedad de la teoría no puede remediarse utilizando la cuantización por integral de camino, si quieres definir una teoría unitaria. Sin embargo, Hawking y Hertog han sugerido que puedes permitir fantasmas de Ostragradsky si defines la integral de camino a través de una rotación de Wick desde el espacio euclidiano, ver aquí. La teoría resultante, sin embargo, no es unitaria. Si intentas exigir unitariedad en presencia de los fantasmas, es probable que la integral de camino ni siquiera esté bien definida, debido a la tendencia del sistema a decaer instantáneamente (y por lo tanto, la idea de dividir la evolución en pequeños pasos para derivar la integral de camino probablemente no convergerá en ningún sentido).

Answer 2

En la teoría cuántica de campos, o en la teoría de campos, se asume que el Lagrangiano solo debe contener el término de la primera derivada, porque requerimos que el campo sea local.