Ejemplo de un finitely módulo generado con submódulos que no son finitely generado

Question

Estoy buscando un ejemplo de un finitely módulo generado con submódulos que no son finitely generado.

He encontrado una pregunta similar tratar con el grupo (es decir, un ejemplo de un finitely generado grupo con subgrupos que no son finitely generado). Pero no puedo averiguar si esa pregunta no ayudar a esta.

Y quiero encontrar un "módulo" como ejemplo más que un ejemplo, derivados de un 'extraño' del grupo.

Puede usted por favor ayuda? Gracias!

Answer 1

El ideal de $I=\langle X_1,X_2,...,X_n,... \rangle \subset \mathbb R[X_1,X_2,...,X_n,...]=A$ puede ser visto como un submódulo de la libre $A$-módulo de dimensión uno $A=A^1$, y que el módulo no es finitely generado. ¿Por qué?
(Sugerencia: incluso en un polinomio anillo con una infinidad de indeterminates, cada polinomio implica sólo un número finito de variables. En otras palabras $\mathbb R[X_1,X_2,...,X_n,...]=\bigcup_{k\geq 1}\mathbb R[X_1,X_2,...,X_k] \;$ )

Answer 2

He aquí un simple ejemplo (de un no-Noetherian anillo): el anillo de $R$ de los polinomios en una indeterminada $X$ con coeficientes racionales, pero con una constante entera plazo. Su ideal de elementos con cero término constante no es finitely genera como una $R$-módulo.