$\mathbf{B}A$ como un 2-grupo en una secuencia de fibra larga

Question

Estoy intentando digerir la siguiente afirmación sobre el grupo 2:

De la Observación 4.2 de nlab :

"Dejemos $A \to \hat G$ sea la inclusión de un subgrupo, que presenta una extensión central $A \to \hat G \to G$ con $G := \hat G/A$ . Entonces esta corta secuencia exacta de grupos se extiende a una larga secuencia de fibras de 2 grupos $$A \to \hat G \to G \to \mathbf{B}A \to \mathbf{B}\hat G \to \mathbf{B}G \to \mathbf{B}^2 A \,,$$ donde $\mathbf{B}A$ denota el grupo de 2 dado por el módulo cruzado $(A \to 1)$ y lo mismo para los demás casos".

Pregunta 1 : Entiendo la secuencia de fibras largas inducidas. Pero no entiendo por qué $\mathbf{B}A$ ¿se denomina grupo de 2? ¿Puede alguien ayudarme con esto? Además, ¿cuál es el énfasis en "dado por el módulo cruzado $(A \to 1)$ "?

Aquí el homomorfismo de conexión $G \to \mathbf{B}A$ se presenta en la categoría de módulos cruzados por un zig-zag / anafunctor cuya pata izquierda es la equivalencia débil anterior:

Pregunta 2 : ¿Estoy en lo cierto que para hablar de 2 grupos $\mathbf K$ en este contexto necesitamos tener el espacio clasificatorio $\mathbf{B}K$ tal que los dos grupos de homotopía de $\pi_1(\mathbf{BK}) \neq 0$ y $\pi_2(\mathbf{BK}) \neq 0$ ? Por ejemplo, si $\mathbf K=K_1 \times \mathbf{B}K_2$ entonces $$\pi_1(\mathbf{BK}) = \pi_1(\mathbf{B}K_1) = K_1$$ et $$\pi_2(\mathbf{BK})= \pi_2(\mathbf{B}^2K_2) = K_2.$$

¿Son estas dos condiciones suficientes?

¿O estas dos condiciones sólo son necesarias?

Answer 1

Un 2-grupo es un grupito dotado de una estructura monoidal en la que todo objeto es invertible. Para un grupo de 1 objeto $BG$ el argumento de Eckmann-Hilton muestra que $BG$ admite una única estructura estrictamente monoidal de 2 grupos si y sólo si $G$ es abeliana. La referencia a los módulos cruzados se debe a que estos últimos son equivalentes a los grupos de 2.

Su segunda pregunta es un poco confusa, pero si $K_2$ es abeliano, entonces existe efectivamente un grupo de 2 $K_1\times BK_2$ , un producto de groupoides estrictamente monoidales.