Evaluar la integral $\int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-u^2)}{1+u^2} \, du$

Question

Estoy tratando de calcular la integral siguiente

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-u^2)}{1+u^2} \, du. $$

Wolfram da una hermosa respuesta analítica: ${\rm e}\pi\operatorname{erfc}(1)$. He probado todos los trucos en mi libro (el cambio de variable, contorno,...). Me encantaria ver una prueba de ese resultado hermoso :) Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Definir $I(s)$ por

$$ I(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-su^2}}{1+u^2} \, du. $$

A continuación, $I(s)$ resuelve la siguiente ecuación:

$$ I(s) - I'(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-do^2} \, du = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{s}}. $$

Este es un 1^st-orden de la ecuación diferencial, que puede ser resuelto de manera sistemática por medio de la integración del factor. El resultado es que

$$ I(s) = e^s \left( \mathsf{C}-\int \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{s}}e^{-s} \, ds \right) $$

para algunos la elección adecuada de los constantes $\mathsf{C}$. Junto con la condición de contorno $I(\infty) = 0$, resulta que

$$ I(s) = e^s \int_{s}^{\infty} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{s}}e^{-s'} \, ds' = \frac{\pi}{2}e^s \operatorname{erfc}(\sqrt{s}). $$

Conectar $s = 1$ da el valor

$$ I(1) = \frac{e\pi}{2}\operatorname{erfc}(1) \approx 0.67164671082336758522\cdots. $$

Answer 2

Por el truco de Schwinger:

\begin{equation} \int{0}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u^2}}{1+u^2}\mathrm{d}u=\int{0}^{\infty}\mathrm{d}t\int{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-u^2}\mathrm{e}^{-t(1+u^2)}\mathrm{d}u= \int{0}^{\infty}\frac{\sqrt{\pi } \mathrm{e}^{-t}}{2 \sqrt{t+1}} \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{e\pi}}{2}\text{erfc}(1). \end{equation}