Deje$B\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ con entradas positivas. Demuestre que para$r>\rho(B)$ (radio espectral), entonces ...

Question

la matriz$A=rI-B$ es no singular y$A^{-1}$ tiene entradas no negativas.

Es bastante fácil probar que$A$ no es unular dado que$$r\notin\text{spec}(B)\iff \det(rI-B)=\det(A)\neq 0.$$ But how do I go about showing that the entries of $ A ^ {- 1} $ no son negativos? ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Sugerencia: escriba$A^{-1}$ usando una serie infinita

---

Segunda pista: tenemos

$$ (I - M) ^ {- 1} = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty M ^ k $$ siempre que converja la suma de la derecha (donde definimos$M^0 = I$ por convención). Si$M$ tiene entradas positivas, también lo hace$M^k$ para$k \geq 1$.

Answer 2

Sabemos que$B$ tiene entradas positivas por supuesto. Además, tenga en cuenta que$r>\rho(B)\geq0$. Ahora queremos mostrar que$A^{-1}$ tiene entradas no negativas, donde$A=rI-B$. Ahora,

\begin{align*} A^{-1} &= (rI-B)^{-1} \\ &= \frac{1}{r}\left(I-\frac{1}{r}B\right)^{-1} \\ &= \frac{1}{r} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{r}B\right)^k \end {align *} Tenemos ese$\frac{1}{r^k}>0$ para todos$k$, y$B$ tiene entradas que son todas positivas así que$B^k$ tiene todas las entradas positivas para todos$k$ también. Entonces, la suma de las entradas positivas seguirá siendo positiva. Por lo tanto,$A^{-1}$ tiene todas las entradas no negativas.