Decimos que $X$ es contráctiles si es homotopy equivalente a un singleton conjunto.
Vamos $A \subseteq X$. $A$ es un retractarse de $X$ si existe un mapa continuo $r:X \rightarrow A$ tal que $r(a) = a \; \forall a \in A$.
Un retraer $A$ es una deformación retractarse de $X$ si existe una retracción $r$ tal que $i \circ r \simeq Id_X \; \text{rel} \; A$.
Esto es lo mismo que decir que $A$ es una deformación retractarse si existe un mapa continuo $F:X \times I \rightarrow X$ tal que $F(x,0) = r(x)$, $F(x,1) = x \; \forall x \in X$ y $F(a,t) = a$ todos los $a \in A, t \in I$.
Estoy tratando de probar lo siguiente:
Deje $X$ ser un espacio topológico. $X$ es contráctiles si y sólo si la deformación se retrae a un punto.
Creo que recuerdo a este ser verdadero, pero no puedo encontrar la exacta declaración, y ahora estoy empezando a tener mis dudas. Un contra-ejemplo a lo anterior, también sería una respuesta satisfactoria.
El retroceso implicación parece bien: Si $X$ deformación se retrae a un punto, a continuación, inmediatamente nos tenemos que los asociados se retracte de $r$ es un homotopy de equivalencia. Por lo tanto, conseguir que la $X$ es homotopy equivalente a un singleton conjunto, y es contráctiles.
Para la otra implicación, si $X$ es contráctiles, tenemos que existen (continua) de los mapas $f:X \rightarrow \{1\}$ $g:\{1\} \rightarrow X$ tal que $f \circ g \simeq Id_X$$g \circ f \simeq Id_{\{1\}}$. Aquí es donde puedo conseguir un poco atascado.
Creo que tenemos que $g(1)$ es fijo por $f \circ g$. Tenemos que $f \circ g:X \rightarrow X$ es continua, por lo que es un retraer a $\{g(1)\}$. Creo que estoy cerca de allí ahora, pero no puedo ver cómo demostrar que $F(a,t) = a$ todos los $t \in I$.
