Origen de las variables conjugadas en las teorías físicas

Question

¿Por qué las variables conjugadas vienen en pares? Por ejemplo, en la mecánica clásica tenemos las coordenadas generalizadas de posición y momento, y están las coordenadas del ángulo de acción de Jacobi. Además, en las ecuaciones termodinámicas fundamentales, todas las cantidades relevantes aparecen en pares, es decir, volumen y presión, entropía y temperatura, número de partículas y potencial químico. Seguramente se puede hacer un argumento dimensional sobre por qué queremos estos pares (para que den unidades de energía, etc...), pero estoy buscando un argumento conceptual sobre por qué las variables conjugadas vienen en pares.

Me disculpo si esta pregunta está mal planteada.

Answer 1

La mejor manera de responder a esta pregunta es considerar los ejemplos anteriores (posición y momento) y los últimos (volumen y presión, etc.) por separado. Véase esta pregunta por qué las considero por separado.

El primer grupo de ejemplos (los de la mecánica hamiltoniana) tiene sus raíces en Dualidades Pontryagin . La prueba de este concepto es un poco detallada pero esencialmente se reduce a tratar de encontrar las condiciones bajo las cuales $\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))$ equivale a $f$ en algún sentido. Resulta que esto es válido para todos los grupos abelianos compactos. Y también, como sucede, la posición es el dual de Pontryagin del momento, y viceversa.

El segundo conjunto de ejemplos (de la termodinámica) surge cuando observamos las distribuciones de equilibrio en la termodinámica. En ese caso no hay nada "especial" en que esas variables vengan por parejas. Por ejemplo, consideremos la ecuación de energía interna para un conjunto canónico, que relaciona la misma con la entropía (S), el volumen (V), la temperatura (T) y la presión (p):

$$ \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V $$ Puedes ver que la temperatura y la presión son sólo las "constantes de proporcionalidad" de los cambios de entropía y volumen en esta ecuación. En cuanto a por qué los cambios de temperatura impulsan los cambios de entropía (transferencia de calor), se debe a que la segunda ley de la termodinámica busca aumentar la entropía del sistema más el baño. Cuando el sistema se aleja ligeramente del equilibrio, por ejemplo al aumentar $T$ del baño en una cantidad muy pequeña, se intercambia cierta cantidad de entropía y el sistema se equilibra de nuevo.

Existe un tipo de relación diferente entre la temperatura y el calor, por ejemplo, y la posición/momento. Mientras que el momento generalizado y la posición están relacionados mediante ecuaciones diferenciales recíprocas, no ocurre lo mismo con la temperatura y el calor.