Interpretación de un cálculo de la matriz

Question

Recientemente me encontré con este problema, aunque trivial para calcular a mano - es un poco difícil para mí para interpretar. En particular, tenemos tres matrices:

$$\vec{c}= \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.5 \end{bmatrix},\hspace{0,2} \vec{x}= \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix},\hspace{0,2} \vec{\mu}= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \hspace{0,2} \mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} $$

Entonces tenemos el siguiente cálculo, que me han resuelto a continuación.

$\vec{c}^{\,T}(\vec{x}-\vec{\mu}) (\vec{c}^{\ T}\mathbf{\Sigma}\vec{c})^{-1}$ ${}=\begin{bmatrix} \ 0.5 \end{bmatrix}$

El cálculo es trivial. Sin embargo, ¿cómo debo interpretar esta solución asumiendo $\vec{x}$ es un vector de datos, $\vec{\mu}$ es un medio de vectores, y $\mathbf{\Sigma}$ es una matriz de covarianza?

Answer 1

Considere la variable aleatoria $$y = c^T x$$Then the mean of $$ %y $$E(y) = c^T E(x) = c^T \mu$ $ y variación de $y$ $$var(y) = E(y - c^T \mu)^2 = E(y^2) - (c^T \mu)^2 = E(y^2) + c^T \mu\mu^T c \tag{}$ $ pero $$y^2 = (c^Tx)^2 = c^Tx c^Tx= c^Txx^Tc$ $ $$E(y^2) = c^TE(xx^T)c = c^T(\Sigma - \mu\mu^T)c \tag{}$$ reemplace $()$ $()$, quede nos $$var(y) = c^T\Sigma c$ $ Let $z$una versión estándar de $y$, es decir, $$z = \frac{y - E(y)}{var(y)} = \frac{c^Tx - c^T\mu}{c^T\Sigma c} = c^T(x - \mu)(c^T\Sigma c)^{-1} $ $ así, se calcula el $z$ aquí.