Solo prime en un intervalo grande

Question

Demuestre que existe un número primo$p > 10^{100}$ tal que$p$ es el único número primo en el intervalo$[p − 10^{20}, p + 10^{20}]$.

Estaba revisando las notas de NT en línea y encontré esta pregunta sobre un conjunto de problemas.

No estoy seguro de cómo ganar tracción en este problema. Hasta ahora he intentado saltar un poco con Bertrand, pero no estoy seguro de que eso lleve a ningún lado.

Answer 1

Deje $q_k$ $q_k'$ $k=1$ $10^{20}$ser distintos de los números primos, todos mayores de $10^{20}$. Por el Teorema del Resto Chino, el sistema simultáneo de congruencias

$$x\equiv \begin{cases}-1\mod q_1\\ -2\mod q_2\\ \vdots\\ -10^{20}\mod q_{10^{20}}\\ 1\mod q_1'\\ 2\mod q_2'\\ \vdots\\ 10^{20}\mod q_{10^{20}}' \end{casos}$$

tiene una solución $n$ mod $Q$ donde $Q=\prod_{k=1}^{10^{20}}q_kq_k'$. Así que hay una progresión aritmética, $n,n+Q,n+2Q,\ldots$, todos con la propiedad de que $q_k\mid(n+mQ)+k$ $q_k'\mid(n+mQ)-k$ todos los $1\le k\le10^{20}$. Porque los números primos $q_k$ $q_k'$ son todos mayores de $10^{20}$, ninguno de ellos dividen $n$, por lo tanto $\gcd(n,Q)=1$. Por parte del Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, se deduce que el $n+mQ$ es el primer para algunos (de hecho infinitamente muchos) los valores de $m$. Deje $p=n+mQ$ ser que el primer.