Cómo probar que $k^3+3k^2+2k$ es siempre divisible por $3$?

Question

Cómo puedo probar que la siguiente expresión polinómica es divisible por 3 para todos los enteros $k$?

$$k^3 + 3k^2 + 2k$$

Answer 1

Reescribir $k^3 + 3k^2 + 2k = k(k+1)(k+2)$. Desde que exactamente uno de los tres factores debe ser divisible por 3, el producto también debe.

Answer 2

SUGERENCIA: Trate de factoring!

Otra sugerencia:

$$k^3 + 3k^2 + 2k = k(k^2 + 3k + 2) = k (k+1)(k+2) $$ Por lo tanto, la expresión es el producto de tres enteros consecutivos.

Answer 3

Para comprobar si los valores de $p(k)$ del polinomio $p$ con coeficientes enteros es divisible por $m$ para todo entero $n$, sólo para comprobar que $$p(k) \equiv 0 \pmod m, \; \forall k \in {0,\ldots,n-1}\tag{1}$$ o, equivalentemente, $$m \mid p(k), \; \forall k \in {0,\ldots,n-1}$$

Así que si $p(k)=k^3+3k^2+2k$ hemos

• $p(0)=0$ es divisible por $3$
• $p(1)=6$ es divisible por $3$
• $p(2)=24$ es divisible por $3$

y, por tanto, $p(k)$ es divisible por $3$ para cada entero $k$.

Creo que el uso de $(1)$ es menos elegante que la solución que factores el polinomio $p(k)$, pero muestra una declaración sobre el conjunto infinito de números enteros que puede ser dividido en un número finito de casos que pueden ser controladas por un programa de ordenador.

Answer 4

Si $k$ es un múltiplo de a $3$, entonces la afirmación es obviamente cierto. A continuación, supongamos que $k$ no es un múltiplo de a $3$. Desde $k$ $3$ son coprime, \begin{equation} k^2 \equiv 1\pmod 3 \end{equation} por el teorema de Euler. Entonces \begin{equation} k^3+3k^2+2k \equiv 3k\equiv 0. \pmod 3 \end{equation} Por lo tanto, $k^3+3k^2+2k$ es divisible por $3$.

Answer 5

Sin embargo, otro enfoque: basta con conectar los valores de da

$$ 0^3 = 0 \mod 3 $$ $$ 1^3 = 1 \mod 3 $$ $$ 2^3 = 2 \mod 3 $$

En otras palabras, $ k^3 = k \mod 3 $.

Por lo tanto, $ k^3 + 3k^2 + 2k = 3k^2 + 3k = 0 \mod 3 $