Encuentre el límite de$\sum\limits_{r=\lfloor an \rfloor}^{\lfloor bn \rfloor} {n \choose r } p^r (1-p)^{n-r}$ usando el teorema del límite central

Question

Deje $p \in(0,1)$. ¿Cuál es la distribución de la suma de $n$ independiente de variables aleatorias de Bernoulli con parámetro de $p$? Deje $0 \leq a < b \leq 1$. Uso approprtiate límite de teoremas para determinar cómo el siguiente depende de $a$$b$: $$\lim_{n\to\infty} \sum_{r=\lfloor an \rfloor}^{\lfloor bn \rfloor} {n \choose r } p^r (1-p)^{n-r}\ $$

Sé que la suma de $n$ variables aleatorias de Bernoulli con parámetro de $p$ tiene distribución binomial $Bin(n,p)$.

Veo que lo de arriba es igual a $P(an \leq X \leq bn) $ donde $X$ es la suma, y puedo ver cómo usar a los débiles ley de los grandes números en los casos en que $p \neq a$ $p \neq b$ encontrar los límites, pero no puedo ver lo que tengo que hacer al $p=a$ o $p=b$.

Supongo que tengo que aplicar el teorema central del límite, pero yo realmente no veo cómo hacerlo. Cualquier ayuda que me pudieran dar sería muy apreciada.

Answer 1

Como se observa, podemos expresar $X=X_1+\dots+X_n$ cuando la $X_i$ son yo.yo.d variables aleatorias de Bernoulli con parámetro de $p$.

El teorema del límite central dice usted que $\sqrt{n} \left(\frac{1}{n} X - p\right)$ se distribuye de la $\mathcal{N}(0, p(1-p))$ al $n$ tiende a $\infty$ porque $p$ $p(1-p)$ son, respectivamente, la media y la varianza de $X_i$ cualquier $i$. Esto es cierto si la variable satisfacer el estándar de condiciones para la CLT, que lo hace, pero trate de comprobarlo.

Creo que usted debería ser capaz de concluir ahora.

EDIT : como usted ha mencionado que está buscando (como $n$ tiende a $\infty$) \begin{align*} \mathbb{P}(an\leq X\leq bn) &= \mathbb{P}\left(\sqrt{n}(a-p)\leq \sqrt{n}\left(\frac{1}{n} X - p\right)\leq \sqrt{n}(b-p)\right)\\ &= Q(\sqrt{n}(a-p)) - Q(\sqrt{n}(b-p)) \end{align*}

Así que ahora si $a=p$ o $b=p$, uno de estos dos es en realidad exactamente $1/2$, sólo Se puede aplicar los diferentes casos que se mencionan a esta.

EDIT 2 : Para la integridad voy a especificar los casos. Usamos la propiedad $Q(0)=1/2$, $\lim_{x\to\infty} Q(x) = 0$ y $\lim_{x\to-\infty} Q(x) = 1$

• $p\notin [a,b]$ : A continuación, el signo de $a-p$ $b-p$ son los mismos y no ser $0$, esto significa que para $n\to\infty$, $Q(\sqrt{n}(a-p)) = Q(\sqrt{n}(b-p)) \in \lbrace 0,1\rbrace$ y por lo $\mathbb{P}(an\leq X\leq bn)=0$
• $p\in \lbrace a,b \rbrace$ : entonces los dos valores posibles de $Q(\sqrt{n}(a-p))$ $Q(\sqrt{n}(b-p))$ son, respectivamente,$1/2$, $0$ o $1$, $1/2$. En cualquier caso, $\mathbb{P}(an\leq X\leq bn)=1/2$
• $p\in ]a,b[$ : A continuación,$Q(\sqrt{n}(a-p))=1$$Q(\sqrt{n}(b-p))=0$$\mathbb{P}(an\leq X\leq bn)=1$.