sobre el límite de la función exponencial

Question

Tal vez la respuesta es obvia. Lo siento para esto

Sé para todos $x \in \mathbb{R}$ que

$$ \lim_\limits{n \to \infty}\left(1 + \frac{x}{n} \right)^{n} = \exp(x). $$

Ahora Supongamos que tiene una secuencia de ${x{n}}{n \in \mathbb{N}}$ tal que

icadas de $$ \lim_\limits{n \to \infty} {n} = x \in \mathbb{R}. $$

Puedo también concluir

$$ \lim\limits{n \to \infty}\left(1 + \frac{x{n}}{n} \right)^{n} = \exp(x)? $$

Answer 1

Finalmente tenemos que $\forall \epsilon>0$

$$\left(1 + \frac{x-\epsilon}{n} \right)^{n}\le \left(1 + \frac{x_{n}}{n} \right)^{n}\le \left(1 + \frac{x+\epsilon}{n} \right)^{n}$$

y por lo tanto, por Teorema de

$$e^{x-\epsilon} \le \liminf{n \to \infty}\left(1 + \frac{x{n}}{n} \right)^{n}\le \limsup{n \to \infty}\left(1 + \frac{x{n}}{n} \right)^{n}\le e^{x+\epsilon} $$

y sigue tomando el $\epsilon \to 0$ el resultado.

Answer 2

Por lo tanto, puede uno concluir que $$n\ln\left(1+\frac{x_n}n\right)\to x?\tag{}$ $ que $ de $$n\ln\left(1+\frac{x_n}n\right)=x_n+O\left(\frac{x_n^2}{n}\right).$ $x_n\to x$, que $O(x_n^2/n)=O(1/n)$ en cuenta. Así () lleva a cabo, y la respuesta es sí.

Answer 3

Por medio de Teorema del valor en $f(x)=\ln(\alpha+x)$ $[x,x+\alpha]$ uno puede resultar $$\dfrac{x}{\alpha+x}

Answer 4

$n\log (1+x_n/n)= x_n\frac{ \log (1+x_n/n)- \log (1)}{x_n/n}=$

$x_n\log '(y_n)=x_n(1/y_n)$, donde $1

$\lim_{n \rightarrow \infty} y_n = 1$.

Por lo tanto

$\lim_{n \rightarrow \infty} [x_n (1/y_n)] =$

$[\lim_{n \rightarrow \infty}(xn)][\lim{ n \rightarrow \infty}(1/y_n)]= x. $