Suma de esta serie${1\over 2}\left[1+{1 \over 3}\left({1 \over 4}\right)^2+ {1 \over 5}\left({1 \over 4}\right)^4+\cdots\right]$

Question

Tengo esta serie,

ps

He demostrado que esta serie converge.

Parece una combinación de serie geométrica y serie armónica para mí.

No puedo continuar desde aquí. Me encantaría tener alguna pista.

Lo siento, esta vez no tengo nada que escribir en "mis esfuerzos", ya que estoy completamente atascado.

Answer 1

Sugerencia:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2n+1}=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}u^{2n}\right)du$$

Se puede tomar desde aquí?

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Algunos de los más explicaciones:

Observe que cada término en su suma puede ser escrito como $$\frac{x^{2n}}{2n+1}\tag{1}$$ where $x=1/4$. So your sum can be written: $$\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2n+1}\tag{2}$$ Now we know that the anti-derivative of $x^{2n}$ is $\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$, and this looks very much like $\frac{x^{2n}}{2n+1}$, except that there is an $x$ demasiado!!!

Podemos solucionar este problema por tomar la anti-derivada, y luego se divide por $x$. Esto se vería $$\frac{x^{2n}}{2n+1}=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}u^{2n}du=\frac{1}{x}\left(\frac{x^{2n+1}}{2n+1}-\frac{0^{2n+1}}{2n+1}\right)\tag{3}$$ de cada término. Ahora usted puede tomar la suma de los dos lados, y usted debe obtener su cantidad original.

Puede escribir ahora se suma de forma integral, integrando $$\sum_{n=0}^{\infty}u^{2n}\tag{4}$$ se puede simplificar esto?

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Para terminar:

Se termina con la integral en la pista, y la suma de $(4)$ es una serie geométrica que converge a $$\frac{1}{1-u^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right)\tag{5}$$ We can now compute the integral: $$\frac{1}{4x}\int_{0}^{x}\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}du=\frac{1}{4x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\tag{6}$$ Setting $x=1/4$ yields: $$\ln\left(\frac{5}{3}\right)\approx 0.51$$

Answer 2

Sugerencia: puede usar la siguiente función:

ps

Multiplicando ambos lados por x obtenemos:

ps

Tomando derivado obtenemos:

ps

Tomando integral obtenemos:

ps

ps

Poner $$S=1+\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{5}x^4+ . . . $.

Answer 3

Usted puede prueba de esa manera:

$${1\over 2}[1+{1 \over 3}({1 \over 4})^2+ {1 \over 5}({1 \over 4})^4+...] < {1\over 2}[1+({1 \over 4})^2+ ({1 \más 4})^4+...]$$ y esta serie converge (la parte entre corchetes es una serie geométrica).

Editar

Puedes ir empezando con la fórmula para la tangente hiperbólica inversa de la función:

tangente hiperbólica inversa similares de la serie

que es:

$$\tanh^{-1}z = \sum_{n=1}^{\infty} {z^{2n-1} \over 2n-1}$$

Y la respuesta es una muy pequeña modificación:

respuesta

Ver que

$$4 \cdot \tanh^{-1}({1 \over 4}) = 4 \sum_{n=1}^{\infty} {({1 \over 4})^{2n-1} \over 2n-1} = 4 \cdot ({1 \over 1}({1 \over 4})^{1} + {1 \over 3}({1 \over 4})^{3} + ...) = 1 + {1 \over 3}({1 \over 4})^{2} + {1 \over 5}({1 \over 4})^{4} + ...$$

Answer 4

Para el $x\ne0,$ % $\dfrac{x^{2n}}{2n+1}=\dfrac1x\cdot\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$

Ahora para #% (prueba) de $-1\le x

$$\ln(1-x)=-\sum_{r=1}^\infty\dfrac{x^r}r$