Deje que $M$ denotan un monoide. Entonces para referirse a los submonoides de $M$ que resulta ser un grupo, creo que la frase "subgrupo de $M$ " está bien, ya que es poco probable que cause confusión siempre y cuando instruyas al lector que usarás la palabra de esta manera.
Sin embargo, a veces tienes un monoide $M$ con un subgrupo $M$ que resulta ser un grupo, pero cuyo elemento de identidad es diferente al de $M$ . Esto sucede con pilas de arena por ejemplo; hay un monoide $M$ de los montones de arena, y esto tiene un "subgrupo" especial, pero el subgrupo tiene un elemento de identidad diferente a $M$ .
Pregunta. ¿Hay un término para esto?
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¿No está el elemento unitario de un monoide unívocamente determinado? Si $e,e'$ son dos elementos de identidad, entonces $e = e\cdot e' = e'$ .
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Sí. El elemento de identidad en el subgrupo no es una identidad en el monoide mayor. Es sólo un idempotente.
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Nótese también que los inversos en esos subgrupos no serán inversos en el monoide original (porque el producto es la identidad del grupo, no la identidad del monoide).
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De hecho, un elemento en tal "subgrupo de identidad errónea" no puede sea monoide-invertible; Si $e$ es la identidad del monoide y $i$ es la identidad del subgrupo y $a$ está tanto en el subgrupo (por lo tanto en particular $ia=a$ ) y monoide-invertible con inversa $a^{-1}$ (es decir, $aa^{-1}=e$ ), entonces tenemos $e = aa^{-1} = iaa^{-1} = ie = i$ .
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No estoy seguro de si hay algún nombre específico para esto, ya que tenderá a ser el caso de la "mayoría" de los subgrupos (cada idempotente estará contenido en un subgrupo maximal).
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@celtschk, buen argumento.