Si dos espacios son homeomorfos y uno es un espacio métrico, ¿el otro también debe estar?

Question

Supongamos $X$, e $Y$ son espacios topológicos, y que son homeomórficos. Si $X$ es un espacio métrico debe $Y$ ser así?

Aquí está mi proceso de pensamiento.

Si $X$ es un espacio métrico, entonces existe una función de distancia en $X$$d:X\times X\rightarrow\Bbb R$. Deje $\varphi:X\rightarrow Y$ ser un homeomorphism entre el$X$$Y$.

Entonces para cualquier distintos puntos de $y_1,y_2\in Y$ podemos determinar una "distancia" entre ellos por $d(\varphi^{-1}(y_1),\varphi^{-1}(y_2))\in\Bbb R$

Para ser un espacio métrico sin embargo, necesito alguna manera de combinar esta idea de pasar los puntos de vuelta a $X$ $Y$ en un buen camino, y luego de la aplicación de la función de distancia en $X$. Sería tan simple como definir $d'(y_1,y_2) = d(\varphi^{-1}(y_1),\varphi^{-1}(y_2))$?

Si no hay una manera de hacer eso? Es esto suficiente para decir que $Y$ es un espacio métrico? O solo estoy fuera de mi mente?

Answer 1

Si $(X, d_X)$ es un espacio métrico, a continuación, el homeomórficos $Y$ es lo que se denomina metrisable espacio: un espacio en el que se puede dar una métrica que induce a su topología. Un espacio métrico viene con un pre-determinado métrica (y tiene una topología inducida por la métrica), y es un tipo diferente de estructura.

La métrica es de hecho un transporte de una determinada en $X$: $\phi: X \to Y$ (el homeomorphism) tiene bien definida y continua inversa (voy a llamar a $\psi: Y \to X$, de modo que $\psi \circ \phi = 1_X$$\phi \circ \psi = 1_Y$), y podemos definir $$d_Y: Y \times Y \to \mathbb{R} \text{ by: } d_Y(y_1,y_2) = d_X(\psi(y_1), \psi(y_2))$$

Uno fácilmente se comprueba que los axiomas para una métrica para $d_Y$ y por bijectiveness y las definiciones que hemos de conseguir que $\phi[B_{d_X}(x, r)] = B_{d_Y}(\phi(x), r)$ todos los $x \in X, r>0$ etc. para que las pelotas en el $d_X$ métrica se correlacionan con las bolas en el $d_Y$-métrica que muestra (con un poco de pensamiento) que, de hecho, abrir bolas en $d_Y$ están abiertos y formar una base para la topología de $Y$, por lo que el $Y$ es metrisable.

Answer 2

Que la construcción puede realizarse independientemente de $\varphi$ ser un homeomorphism: para cualquier bijection tendrá una métrica estructura en $Y$. Lo que podría ser interesante comprobar es si la topología inducida por la métrica $d' = d(\varphi^{-1}(-),\varphi^{-1}(-))$ coincide con la topología original en $Y$. Vamos a describir el abierto de bolas de $d'$: vamos a $y \in Y$$\varepsilon > 0$ . Ahora,

$$ B'_\varepsilon(y) := \{x:d(x,y) < \varepsilon\} = \{x : d(\varphi^{-1}(x) \varphi^{-1}(y)) < \varepsilon\} = \varphi(B_\varepsilon(\varphi^{-1}(y))). $$

Desde $B_\varepsilon(\varphi^{-1}(y))$ es una bola en $X$ $\varphi$ es homeo, $B'_\varepsilon(y)$ estará abierta en $Y$ con el original de la topología. De la misma manera, si $U \subseteq Y$ está abierto para la topología original,

$$ U = \varphi(\varphi^{-1}(U)) = \varphi(\bigcup_{i \in I}B_{r_i}(x_i)) = \bigcup_{i \in I}\varphi(B_{r_i}(x_i)) = \bigcup_{i \in I}B'_{r_i}(\phi(x_i)) $$

y por lo $U$ está abierto para la métrica de la topología. Aquí usamos ese $\varphi^{-1}(U)$ es un conjunto abierto de $X$, por lo que es una unión de abrir las bolas.

Answer 3

Yo diría que es tan simple como eso, ya que$\varphi$ es un homeomorfismo, parece sencillo verificar los axiomas del espacio métrico, aunque es posible que desee tener cuidado con la desigualdad triangular, pero en un vistazo, es sencillo. Saludos.

Answer 4

Dados cualesquiera conjuntos a y B, y un bijection $\varphi$ entre ellos, cualquier estructura en un conjunto induce un isomorhpic estructura en la otra; si Una tiene una métrica o una topología, o una estructura aditiva, etc., a continuación, una correspondiente estructura puede definirse en B. Por ejemplo, si definimos $b_1+b_2$ como $\varphi(\varphi^{-1}(b_1)+\varphi^{-1}(b_2))$, $\varphi$ será un grupo de isomorfismo con respecto a la adición en Una y además en la B.

Estrictamente hablando, un espacio métrico no es un juego; es una tupla $(S,d)$ donde $S$ es un conjunto y $d$ es una función de distancia. Así que ni $X$ ni $Y$ son espacios métricos, sino $X$ junto con su función de distancia es un espacio métrico, y $Y$ junto con la métrica inducida por $\varphi$ es un espacio métrico. La única pregunta que veo que es remotamente no trivial es si la topología en $Y$ inducida por la métrica en $Y$ inducida por la métrica en $X$ es la misma que la topología original en $Y$. Dado que la topología en $Y$ es isomorfo a la topología en $X$, y la topología en $X$ es de suponer que la topología inducida por su métrica, las dos topologías en $Y$ sería de hecho el mismo.