Muestran que

Question

$f$ es de segundo orden diffierentiable más $[a,b]$, $f(a)=f(b)=0$, $|f''(x)|\leqslant M$, Mostrar que $\left|\displaystyle\int_a^b f(x) dx\right|\leqslant \dfrac{M}{12}(b-a)^3$?

Para hacer que el coeficiente de $\dfrac{1}{12}$, he intentado de esta manera:

Escribir que $c=\dfrac{a+b}{2}$, de acuerdo a la fórmula de Taylor, $$f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\dfrac{f''(\eta)}{2}(x-c)^2,$$ Poner a $x=a, x=b$, aviso que $f(a)=f(b)=0$, luego $$ \begin{split} 0&=f(c)+f'(c)(a-c)+\dfrac{f''(\eta_1)}{2}(a-c)^2,\\ 0&=f(c)+f'(c)(b-c)+\dfrac{f''(\eta_2)}{2}(b-c)^2,\\ \end{split} $$ Entonces, de acuerdo con el teorema de Darboux, existe $\zeta$ tal que $$f(c)=-\dfrac{(b-a)^2}{16}(f''(\eta_1)+f''(\eta_2))=-\dfrac{(b-a)^2}{8}f''(\zeta).$$ Entonces $$f(x)=\color{red}{{-\dfrac{(b-a)^2}{8}f''(\zeta)}}+\color{blue}{f'(c)(x-c)}+\color{green}{\dfrac{f''(\eta)}{2}(x-c)^2}.$$

Integrar ambos lados, la parte roja da $-\dfrac{1}{8}$, la parte azul da cero, y la parte verde da $\dfrac{1}{24}$, entonces el coeffcient $\dfrac{1}{12}$ se muestra arriba.

Sin embargo, no puedo conseguir un correcto desigualdad de esto.

Answer 1

Dejar $c:=\dfrac{a+b}{2}$. La integración por partes (usando$f(a)=0$ y$f(b)=0$) da$$\int_a^b\,f(x)\,\text{d}x=-\int_a^b\,(x-c)\,f'(x)\,\text{d}x\,.$ $ Por el teorema del valor medio,$$f'(x)=f'(c)+(x-c)\,f''\big(\xi(x)\big)\text{ for all }x\in[a,b]\,,$ $ donde$\xi(x)$ es un número (inclusive) entre$x$ y$c$. Es decir, obtenemos$$\left|\int_a^b\,f(x)\,\text{d}x\right|=\left|\int_a^b\,(x-c)\,f'(c)\,\text{d}x+\int_a^b\,(x-c)^2\,f''\big(\xi(x)\big)\,\text{d}x\right|\,.$ $ Dado que$\displaystyle \int_a^b\,(x-c)\,f'(c)\,\text{d}x=0$ y$\big|f''(t)\big|\leq M$ para todos$t\in[a,b]$, concluimos que$$\left|\int_a^b\,f(x)\,\text{d}x\right|\leq M\,\left|\int_a^b\,(x-c)^2\,\text{d}x\right|=M\,\left(\frac{(b-a)^3}{12}\right)\,.$ $ La desigualdad se convierte en igualdad si y solo si

• $f(x)=+M(x-a)(b-x)$ para todos$x\in[a,b]$, o
• $f(x)=-M(x-a)(b-x)$ para todos $x\in[a,b]$.