Espero que no haya ningún problema en pedir esto. Estoy luchando para encontrar una forma cerrada/patrón para esta integral $$I(n)=\int_0^\pi \exp\left(\frac{\cos t}{8}\right)\cos\left(\frac{\sin t}{8}\right) \cos(nt )dt$$, mientras que tratando de resolver otro integral encontrar aquí: https://math.stackexchange.com/a/2912878/515527 .Yo empezamos la búsqueda de pequeños valores de $I(n)$. Il acaba de escribir para ellos $\frac{\pi}{I(n)}$ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \frac{\pi}{I(n)} \\ \hline 1 & 2^4 \\ \hline 2 & 2^8 \\ \hline 3 & 2^{11}\cdot3 \\ \hline 4 & 2^{16}\cdot3 \\ \hline 5 & 2^{19}\cdot3\cdot5 \\ \hline 6 & 2^{23} \cdot 3^2 \cdot5 \\ \hline 9 & 2^{35}\cdot3^4\cdot5\cdot7 \\ \hline 10 & 2^{39}\cdot3^{4}\cdot5^2\cdot 7 \\ \hline 20 & 2^{79}\cdot3^8\cdot5^4\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19 \\ \hline 25 & 2^{98}\cdot3^{10}\cdot5^6\cdot7^3\cdot11^2\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23\\ \hline \end{array} A mí me parece, que si $n$ no es simultáneamente un múltiplo de $2$ y un cuadrado perfecto, entonces el primer término es de la forma $2^{4n-1}$, howeverer esto falla por $n=25$. También el poder cuenta la cantidad de números primos (y múltiplos de los números primos) se encuentran hasta $n$ y añade $1$ (para el poder) si $n$ ya era un cuadrado perfecto, por ejemplo para $n=25$. $13,17,19,23$ se encuentran una vez. $11$ se encuentra dos veces, ya que puede ser escrito como $11 $y $2\cdot11$. $5$ se encuentra a $5$ los tiempos entre las $1$ $25$ pero como $25=5^2$ agrega $1$ más de su poder. Por desgracia no puedo ver un patrón propio. Podría tal vez compartir un poco de ayuda con esta integral?
Podría ser útil mencionar que los $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n} I(n) =\frac{\pi}{2} \left(\sqrt[24]{e}-1\right)$$
