¿Cómo un coeficiente imaginario en la ecuación de calor asegura que no hay una dirección especial en el tiempo?

Question

En Pauli(1973): la Mecánica ondulatoria (Pauli clases de física, Volumen 5) que se deriva en la página 4 la ecuación de Schrödinger (similar a Tong: Conferencias sobre QFT, p. 42) $$ \nabla^2 \psi' + i \frac{2m}{h}\frac{\partial \psi'}{\partial t} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi' }{ \partial t^2} = 0 $$ (el último término se desvanece en el límite de $c \rightarrow \infty$) y realiza las siguientes peculiar comentario:

Aparte de que el coeficiente imaginario, que corresponde a la ecuación de la conducción del calor. El coeficiente imaginario asegura que no hay ninguna especial dirección en el tiempo; [2.11] es invariante bajo la transformación de $t \rightarrow -t, \psi' \rightarrow \psi'^{*}$, por $\psi^{*}\psi$ permanece sin cambios.

¿Qué quiere decir por "el coeficiente imaginario asegura que no es la dirección en el tiempo"? ¿El real de la ecuación del calor sin coeficiente imaginario tiene una dirección especial en el tiempo? ¿Qué dirección quiere decir? Hacia adelante o hacia atrás? O una dirección o ángulo en relación con el espacio?

Estoy bastante confuso. Pero sabiendo Pauli sus comentarios por lo general tienen algunas ideas profundas que me gustaría entender.

Answer 1

¿El real de la ecuación del calor tiene una dirección especial en el tiempo?

Sí, sí, porque el calor se extiende hacia adelante en el tiempo, y se concentra en sí mismo hacia atrás en el tiempo. Matemáticamente, en virtud de la inversión de tiempo $t \to -t$ un primer momento derivados recoge un signo menos, que es la razón por la ecuación del calor no es inversión de tiempo invariante (TRI). Es el mismo principio que la fricción $F = - bv$ elegir un tiempo de dirección.

¿Qué quiere decir por "el coeficiente imaginario asegura que no es la dirección en el tiempo"?

La ecuación de onda sólo tiene segunda vez derivados, y por lo tanto es TRI. Pero es difícil ver cómo una ecuación que es de primer orden en el tiempo, posiblemente, podría ser TRI. Este es un problema, como la ecuación de Schrödinger tiene que ser de primer orden en el tiempo, y debe ser TRI para reducir a la mecánica clásica.

El truco en la mecánica cuántica es que el gradiente de la fase está ligado al impulso. Es de estilo clásico, debemos voltear $p \to -p$ a invertir tiempo, pero desde una partícula cuántica con ímpetu $p$ tiene la función de onda $e^{ipx}$, este debe ser realizado por $$\psi \to \psi^*$$ en virtud de inversión de tiempo, o, equivalentemente,$i \to -i$. El signo recogido por primera vez derivado de lo cancelado por el signo recogido por $i$, con lo que la ecuación de Schrödinger TRI como debe ser.

Answer 2

Solo voy a parafrasear a Pauli.

La ecuación de Schrödinger tiene una inversión de tiempo simetría $t \mapsto -t$ combinado con el complejo de la conjugación. Parece

$$i \partial_t \psi = \partial_{xx} \psi.$$

La ecuación del calor en el otro lado no tiene un momento de reversión de la simetría. Parece

$$\partial_t u = \partial_{xx} u.$$

No hay manera de reconciliar esto con el tiempo que invierte la ecuación

$$- \partial_t u = \partial_{xx} u.$$

De hecho, el calor siempre fluye de caliente a frío en el tiempo hacia adelante en dirección y viceversa hacia atrás en el tiempo de la dirección. Se puede medir esta suavizado en el dominio de Fourier. La función de Green para la ecuación del calor es (esquemáticamente)

$$\frac{1}{\sqrt{t}} e^{-x^2/t},$$

así que uno ve que ni siquiera existe para $t<0$. Por otro lado, la función de Green para la ecuación de Schrödinger se parece a

$$\frac{1}{\sqrt{it}} e^{-x^2/it}.$$

(En general, la mecánica cuántica y la termodinámica imágenes están relacionadas por la sustitución de $t \mapsto it$.)