Una biyección continua entre dos espacios métricos completos que no es un homeomorfismo.

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son dos espacios métricos y $f: X\to Y$ sea una biyección continua.

Ahora mi pregunta es hace la integridad de $X$ y $Y$ implica $f$ sea un Homeomorfismo?

Mi idea . En primer lugar trato de demostrar $f$ para ser un cerrado mapa asumiendo $X$ y $Y$ sea un espacio métrico completo. Pero esta idea no funcionó.

Sé que si $X$ es dado a ser compacto entonces si o no $Y$ completa dada inicialmente $f$ se convierte en un homeomorfismo. Pero ese no es el caso aquí. Así que trato de encontrar un ejemplo de contador .

Tomo $Y=\Bbb{R}$ y tratar de elegir $X$ para ser un no compacto pero un subconjunto cerrado de $\Bbb{R}$ (y $\Bbb{R}^2$ ) pero el problema es que en esa situación las biyecciones que encontré fueron no continua . Tampoco puedo encontrar ningún ejemplo más allá de los espacios métricos $\Bbb{R}$ o $\Bbb{R}^2$ como mi $X$ .

¿Puede alguien ayudarme a averiguar cómo construir un ejemplo de contador aquí? Gracias...

Answer 1

El mapa de identidad de $\mathbb R$ con métrica discreta en $\mathbb R$ con la métrica habitual es una biyección continua que no es un homeomorfismo. Ambos espacios son completos.

Answer 2

En primer lugar, observe que $[0,1)$ es homeomorfo a $[0,\infty)$ y claramente $[0,\infty)$ es completo porque es un subconjunto cerrado de un espacio métrico completo ( $\mathbb{R}$ ). Tome $f:[0,\infty)\to[0,1)$ tal homeomorfismo. Consideremos la función $g:[0,1)\to\mathbb{S}^1$ definido por $g(x)=(\cos(2\pi x),\sin(2\pi x))$ . No es muy difícil demostrar que $g$ es continua y biyectiva. Por lo tanto, $g\circ f:[0,\infty)\to\mathbb{S}^1$ es una función continua y biyectiva y el dominio es completo pero $g\circ f$ no es un homeomorfismo porque $\mathbb{S}^1$ es compacto y $[0,\infty)$ no lo es.