¿Qué método debe utilizar para integrar esta función?

Question

Recientemente he estado trabajando en los problemas de la integración y estoy teniendo algunas dificultades en la solución de esta integral :

$$\int_0^1 (1-x)\sqrt{4x-x^2} {dx}$$

Traté de volver a escribir en este formulario:

$$\int_0^1 (1-x)x\sqrt{\frac{4-x}{x}} dx$$ and then subsitute $\frac{4-x}{x}=t^2$ y por esta sustitución puedo obtener una función de manera más fácil integrada de esta forma:

$$-32\int\frac{(t^2-3)t^2}{(1+t^2)^4}dt$$

Puedo integrar esta función fácilmente mediante la simplificación de ella, pero el problema es que no puedo definir sus fronteras debido a $t$ no está definida para $x=0$ así que esto significa que mi sustitución no tiene. Pero no tengo ninguna otra idea de cómo resolverlo así que cualquier ayuda será apreciada.Gracias!

Answer 1

Estados Unidos intenta deshacerse de la raíz cuadrada paso a paso: $$\begin{eqnarray} \int{0}^{1}(1-x)\sqrt{x}\sqrt{4-x}\,dx&\stackrel{x\mapsto z^2}{=}& 2\int{0}^{1}z^2(1-z^2)\sqrt{4-z^2}\,dz\&\stackrel{z\mapsto 2u}{=}&32\int{0}^{1/2}u^2(1-4u^2)\sqrt{1-u^2}\,du\&\stackrel{u\mapsto\sin\theta}{=}&32\int{0}^{\pi/6}\sin^2\theta\cos^2\theta(1-4\sin^2\theta)\,d\theta\&=&4\int_{0}^{\pi/6}\left[-1+\cos(2\theta)+\cos(4\theta)-\cos(6\theta)\right]\,d\theta.\end{eqnarray}$ $ supongo que lo puede tomar desde aquí.

Answer 2

Siempre es pedagógicamente muy bien para dar una solución para el inicio. Voy a probarlo, aunque sustituciones trigonométricas desde el comienzo puede salvar a escribir.

La sustitución de $t=\sqrt{(4-x)/x}$ está bien, pero tenemos que el uso inadecuado de las integrales. La solución sería la siguiente. Para $x=0+$ correspondiente (limitar) el valor de $t$$t=\sqrt{4/0_+}=+\infty$, y para $x=1$ obtenemos $t=\sqrt{(4-1)/1}=\color{red}{\sqrt 3}$. (Es la plaza de las tres, tal vez la única razón para escribir esta respuesta.) $$ \begin{aligned} J &= \int_0^1 (1-x)\sqrt{4x-x^2} \; dx \\ &= \int_{\infty}^{\sqrt 3} -32\frac{(t^2-3)t^2}{(1+t^2)^4}\;dt \\ &= +32\int_{\sqrt 3}^{\infty} \frac{(t^2+2t^2+1)-5(t^2+1)+4}{(1+t^2)^4}\;dt \\ &= +32\int_{\sqrt 3}^{\infty} \left[\ \frac1{(1+t^2)^2} -5\frac1{(1+t^2)^3} +4\frac1{(1+t^2)^4} \ \right]\;dt \\ &=32(K_2-5K_3+4K_4)\ , \end{aligned} $$ donde $K_n$ es la integral en el mismo intervalo de $(1+t^2)^{-n}$. Tenemos la recursividad $$ \begin{aligned} K_n &=\int_{\sqrt 3}^{\infty}t'\frac1{(1+t^2)^n}\;dt \\ &=\frac t{(1+t^2)^n}\Bigg|_{\sqrt 3}^{\infty} - \int_{\sqrt 3}^{\infty} t\cdot \frac{-2nt}{(1+t^2)^{n+1}}\;dt \\ &=-\frac{\sqrt3}{4^n} + 2n\int_{\sqrt 3}^{\infty}\frac{(t^2+1)-1}{(1+t^2)^{n+1}}\;dt \\ &=-\frac{\sqrt3}{4^n} + 2n(K_n-K_{n+1})\ ,\text{ i.e.} \\ K_{n+1} &= \frac 1{2n}\left[\ (2n-1)K_n-\frac{\sqrt3}{4^n}\ \right]\ . \\[2mm] &\qquad\text{This gives:} \\ K_1 &=\arctan \infty-\arctan\sqrt 3 =\left(\frac 12-\frac 13\right)\pi =\frac 16\pi\ , \\ K_2 &=\frac 12\left[K_1-\frac{\sqrt 3}4\right]=\frac 1{12}\pi - \frac{\sqrt 3}8\ , \\ K_3 &=\frac 14\left[3K_2-\frac{\sqrt 3}{16}\right] =\frac 1{16}\pi - \frac{7\sqrt 3}{64}\ , \\ K_4 &=\frac 16\left[5K_3-\frac{\sqrt 3}{64}\right] =\frac 5{96}\pi - \frac{3\sqrt 3}{32}\ , %\\ %K_5 &=\frac 18\left[7K_4-\frac{\sqrt 3}{216}\right] %=\frac {35}{768}\pi - \frac{169\sqrt 3}{2048}\ , \\ &\qquad\text{ so putting all together} \\ J&=32(K_2-5K_3+4K_4) \\ &=-\frac23\pi+\frac {3\sqrt 3}2\ . \end{aligned} $$ Como se dijo, no es la manera rápida, pero todos los detalles se muestran. Equipo de verificación:

sage: var('x,t');
sage: integral( (1-x)*sqrt(4*x-x^2), x, 0, 1 ).simplify()
-2/3*pi + 3/2*sqrt(3)
sage: integral( 32*(t^2-3)*t^2/(1+t^2)^4, t, sqrt(3), oo ).simplify()
-2/3*pi + 3/2*sqrt(3)

Answer 3

Usted puede usar $\int_a^b f(x) dx=\int_a^b f(a+b-x) dx$ para obtener que $$I=\int_0^1 x \sqrt{4-(1+x)^2} dx$$ You get$$I= \int_0^1 (x+1)\sqrt{4 - (x+1)^2} dx-\int_0^1 \sqrt{4 - (x+1)^2} dx$$ For the first one just substitute $4-(x+1) ^ 2 = t $ to get $% $$\frac12 \int_0^3 \sqrt t dt$y la segunda es una raíz cuadrada estándar integral.

Answer 4

Sugerencia:

Por completando el cuadrado,

$$4x-x^2=4-(x-2)^2$ $ y que apunta a utilizar la sustitución

$$x-2=2\cos t.$$

Entonces

$$\int (1-x)\sqrt{4x-x^2}dx=4\int(1+2\cos t)\sin^2t\,dt.$$

El término $\sin^2t$ está integrado en el % de forma $\dfrac{1-\cos 2t}2$, y el segundo término es inmediato.

$$I=2t-2\sin t\cos t+\dfrac83\sin^3t=\\arccos\dfrac{x-2}2-(x-2)\sqrt{1-\dfrac{(x-2)^2}4}+\dfrac83\left(1-\dfrac{(x-2)^2}4\right)^{3/2}$$

Answer 5

Su enfoque puede completarse señalando que el dominio de integrtion $x\in(0,1)$ obtiene transformado al dominio sin límites de % integración $t\in(\sqrt3,\infty)$con la revocación de la orientación (que niega la integral).

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También podemos fijar $u=1-x/2\implies4!\left(1-u^2\right)=4x-x^2$. Por lo tanto, $$ \int0^1(1-x)\sqrt {4 x-x ^ 2} \,\mathrm {d} x = 4\int {1/2} ^ 1(2u-1) \sqrt {1-u ^ 2} \,\mathrm {d} u $$ luego, valor $u=\sin(\theta)$ da $$\begin{align} 4\int{1/2}^1(2u-1)\sqrt{1-u^2}\,\mathrm{d}u &=4\int{\pi/6}^{\pi/2}(2\sin(\theta)-1)\overbrace{\cos^2(\theta)}^{1-\sin^2(\theta)}\,\mathrm{d}\theta\ &=4\int{\pi/6}^{\pi/2}\left(-2\color{#C00}{\sin^3(\theta)}+\color{#090}{\sin^2(\theta)}+2\sin(\theta)-1\right)\mathrm{d}\theta\ &=4\int{\pi/6}^{\pi/2}\left(-2\color{#C00}{\frac{3\sin(\theta)-\sin(3\theta)}4}+\color{#090}{\frac{1-\cos(2\theta)}2}+2\sin(\theta)-1\right)\mathrm{d}\theta\ %&=-\left[\frac23\cos(3\theta)+\sin(2\theta)+2\cos(\theta)+2\theta\right]_{\pi/6}^{\pi/2}\[3pt] %&=\frac32\sqrt3-\frac23\pi \end {Alinee el} $$