$W_1,...,W_n$ sea cualquier $1$ -subespacios dimensionales, ¿existe un $2$ -subespacio dimensional $W$ con $W \cap (\cup_{i=1}^n W_i)=\{0\}$ ?

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión $\ge 3$ sobre un campo infinito $k$ . Dejemos que $W_1,...,W_n$ sea cualquier $1$ -subespacios dimensionales de $V$ . Entonces debe existir un subespacio bidimensional $W$ de $V$ tal que $W \cap (\cup_{i=1}^n W_i)=\{0\}$ ?

Answer 1

Sí.

Comienza con cualquier subespacio bidimensional $U$ . Podemos elegir una base $(v_1,v_2)$ de $U$ tal que $v_1$ no está en ninguno de los $W_i$ : Tenemos infinitas opciones para sustituir $v_1$ con $v_1+\alpha v_2$ , $\alpha\in k$ y cada $W_i$ prohíbe como máximo un valor de $\alpha$ .

Ahora escoge $v_3\notin U$ . y considerar los espacios vectoriales $U_\beta=\langle v_1,v_2+\beta v_3\rangle$ , $\beta\in k$ . Como $U_\beta\cap U_{\beta'}=\langle v_1\rangle$ Cada uno de ellos $W_i$ está contenida como máximo en una $U_\beta$ . Por lo tanto, mediante una elección adecuada de $\beta$ encontramos que $$ U_\beta\cap \bigcup_{i=1}^nW_i=\{0\}.$$

Observación: Aparentemente la afirmación también es válida para campos finitos $k$ Siempre y cuando $n<|k|$ . Y viceversa, también funciona para el infinito $n$ Siempre y cuando $k$ es "más infinito" (por ejemplo, para $k=\Bbb R$ podemos tener un número contable de $W_i$ ).

Answer 2

Una solución no constructiva:

Convención, en el siguiente argumento, $W$ cruzar $W_i$ en algún momento significa que los dos subespacios tienen un vector común distinto de cero.

Supongamos por contradicción que, todo subespacio 2-dim cruza al menos un punto en una $W_i$ .

Dado que hay un número finito de $W_i$ Debe haber uno $W_k$ que atraviesa infinitos subespacios de 2 dimensiones, entre los cuales hay infinitos que no contienen ninguna $W_i$ (de lo contrario, sólo hay un número finito de subespacios de 2 dimensiones cuyo complemento ortogonal no contiene ningún $W_i$ esto no puede ser cierto, ya que un número finito de subespacios de 1 dimensión no puede cubrir un espacio de 2 dimensiones, ni tampoco un espacio de 3 dimensiones).

Pero no puede ser cierto que (la afirmación antes de los paréntesis largos anteriores: hay infinitos subespacios que no contienen ningún $W_i$ (entre los que se encuentra $W_k$ ) pero cruza un determinado $W_k$ De hecho, no hay ninguno).

Una contradicción.

Esta prueba es bastante extraña, lo admito.