¿Cómo puedo demostrar este teorema sobre integrales?

Question

sea f integrable de una función en [a, b], prueba de que existe c en (a, b) tal que $\int_a^cf(t)dt=\int_c ^bf(t)dt$.

Creo que el uso que del teorema Fundamental del cálculo puede ayudar a la prueba. Whath que hice es esto: $\int_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)$ para FCT

$\int_a^bf(t)dt=\int_a^cf(t)dt+\int_c^bf(t)dt$ propiedad de linealidad.

Pero no sé cómo concluir la prueba usando eso.

Answer 1

(Suponiendo que quieres un $c$ tal que $\int_a^cf=\int_c^b f$)

Definir $F(x)=\int_a^x f-\int_x^bf$. $f$ Es integrable, $F$ es continua y bien definida.

Tenga en cuenta que $F(a)=-\int_a^bf$, $F(b)=\int_a^bf$. Se deduce el teorema de valor intermedio que debe haber un $c$ tal que $F(c)=0$, que es lo que pides para.