¿Por qué la posición no está cuantificada en la mecánica cuántica?

Question

Generalmente en todos los ejemplos en la mecánica cuántica, los libros de texto el espectro de la posición del operador es continua.

Están allí (no trivial) ejemplos en los que la posición es cuantificada? o la posición de cuantización está prohibido por alguna razón fundamental de la mecánica cuántica (¿cuál es esa razón?)?

Actualización: Por la posición de cuantización quiero decir, si la posición (de una partícula decir) se mide solo una discreta del espectro (es decir 2,5 cm y 2,7 cm, pero nada en el medio, en la misma forma que los niveles de energía pueden ser discretos). En ese sentido interferencia golpeteo de los fotones en una placa fotográfica no puede ser considerado como la posición de cuantización debido a que la densidad de probabilidad varía "continuamente" desde el máximo hasta cero (o estoy equivocado?)

Answer 1

La posición de la cuantización en vacío está prohibido por la rotación, de traslación, y el impulso de la invariancia. No hay rotación invariable de la cuadrícula. Por otro lado, si usted tiene electrones en un periódico potencial, el resultado en cualquiera de banda es matemáticamente la teoría de un electrón en una discreta red. En este caso, la posición es cuantificada, por lo que el impulso es periódica con periodo p.

La transformada de Fourier de la dualidad

El quasimomentum p en un cristal es definido como he tiempos el registro de la autovalor del cristal traducción al operador que actúe autovector. Aquí doy la definición de la posición de cristal operadores y el impulso de los operadores, que son relevantes en la estrecha unión de bandas, y para describir el análogo de la canónica de relaciones de conmutación que estos operadores obedecer. Estos son el espacio discreto canónica relaciones de conmutación.

En 1d, considere la posibilidad de un periódico potencial de período 1, la traducción de una unidad de energía eigenstate conmuta con H, lo que da una fase, que puede escribir como:

$$ e^{ip}$$

y para p en una zona de Brillouin $-\pi<0<\pi$ esto le da una única fase. El p de la dirección se ha convertido periódica con período de $2\pi$. Esto significa que cualquier superposición de las ondas p es una función periódica en el p-espacio.

La transformada de Fourier es una dualidad, y un periódico coordenada espacial conduce a la discreta p. En este caso, la dualidad toma un periódico p a a x discretas. Definir la posición dual de operador el uso de autoestados de posición. La posición eigenstate se define de la siguiente manera en una red infinita:

$$ |x=0\rangle = \int_0^{2\pi} |p\rangle $$

Donde la suma es sobre la zona de Brillouin, y la suma es sobre una banda única. Este estado viene con toda una familia de otros, que son traducidas por el entramado de simetría:

$$ |x=n\rangle = e^{iPn} |x=0\rangle = \int_0^{2\pi} e^{inp} |p\rangle $$

Estos son los únicos superposiciones que son periódicas sobre P del espacio. Esto permite definir el X operador;

$$ X = \sum_n n |x=n\rangle\langle x=n| $$

El X operador discreto de valores propios, que se dice que el átomo está enlazado. Sólo se toma dentro de una banda, no tiene elementos de la matriz de banda a banda.

Las relaciones de conmutación para la quasiposition X y quasimomentum P se deriva del hecho de que se entero de la traducción de X se logra por P:

$$ X+ n = e^{-inP} X e^{inP}$$

Este es el entramado analógica de la canónica de conmutación relación. No es infinitesimal. Si usted hace la traducción incremento infinitesimal, el entramado se va y se convierte en Heisenberg de la relación.

Si usted comienza con una partícula libre, libre de cualquier $|p\rangle$ estado es también un quasimomentum p estado, pero para cualquier quasimomentum p, todos los estados

$$ |p + 2\pi k\rangle $$

tienen el mismo quasimomentum para cualquier entero k. Si agrega un pequeño periódico potencial y hacer teoría de la perturbación, estos diferentes k-estados fijo quasimomentum se mezclen unos con otros para producir las bandas, y la energía autoestados $|p,n\rangle$ están marcados por la quasimomentum y el número de la banda n:

definir la posición discreta estados como la anterior para cada banda

$$ |x,n\rangle = \int_0^{2\pi} e^{inp} |p,n\rangle $$

Estos le dan la posición discreta operador y el discreto número de la banda operador.

$$ N |x,n\rangle = n |x,n\rangle $$

si además de hacer el cristal de tamaño finito, mediante la imposición periódica de los límites de x, la X discretas convertido en periódicos y p se convierte en la transformada de Fourier de doble rejilla, de modo que el número de celosía de puntos en x y p son iguales, pero los incrementos son recíprocos.

Esto es lo finito volumen de espacio discreto QM parece, y no permite canónica de los conmutadores, ya que estos sólo aparecen en pequeño espaciado reticular.

Answer 2

La respuesta es esencialmente lo que Kostya ha señalado:

La posición es cuantificada pero tiene un espectro continuo de (generalizada) autovalores porque la canónica relaciones de conmutación en la posición y el impulso a prohibir que ambos se delimitada operadores (y actuar en finito-dimensional del estado de los espacios de la Piedra-teorema de von Neumann. Esto significa que, dado restricciones generales, al menos uno de ellos debe ser ilimitado y por lo tanto debe tener un nonemtpy continuo del espectro, lo que implica que la resolución de la identidad debe ser en términos de una integral sobre los estados físicos. Esta es la razón por la cual un punto específico-como la posición no es un físico observable eigenstate de un sistema, y se debe difundir a través de una densa intervalo (que está relacionado con el instrumental de la resolución de la medición): por ejemplo, las partículas pueden tener como mucho localizada paquetes de onda como nuestra resolución permite, pero no tienen posiciones definidas, ni siquiera en principio (al menos en el estándar de la mecánica cuántica). Así, la canónica relaciones de conmutación prohibir que tienen posición discreta si el impulso es discreto por las condiciones de contorno (por ejemplo, la partícula en una caja). Esto puede parecer trivial, debido a la posición y el impulso son los generadores de las traducciones de cada uno de los otros, pero el punto de la noncommutativity y el teorema es que uno de ellos puede tener discreta del espectro (generalmente las condiciones de contorno de discretizar el impulso, por lo que la posición generalizada de los autovalores son continuas).

Sobre la semántica de "cuantificada", algunos propiedad observable es cuantificada si es un operador de la cuántica, física del estado del sistema, independientemente de la distinción o la continuidad de su espectro de autovalores porque, incluso en el continuum caso, estará sujeto a que el formalismo de la mecánica cuántica: noncommutativity, la incertidumbre, la probabilística valores esperados ... saltos Cuánticos en posibles valores discretos espectros son sólo los más notables de la propiedad de el mundo cuántico, sin análogo en el mundo clásico, de ahí el nombre de mecánica cuántica, pero eso no es una condición necesaria. Ya que no son puramente cuántico grados de libertad (por ejemplo, girar), la cuantización no es fundamental, pero son sin embargo cuántica características observables y no clásica en ambos sentidos: spin observables pertenecen a un álgebra de operadores formalismo, que no están en función de la fase de espacio, y han discreta del espectro, lo que de ser cuantificada (o más correctamente, "mecánica cuántica") en cualquier sentido de la palabra.

ACTUALIZACIÓN en celosías de cristal: lo que Ron está llamando a la realización de un espacio diferenciado puede ser muy engañoso. Cualquier nonrelativistic espacio de celosía modelo (es decir, no la gravedad cuántica, teorías) es un eficaz modelo discreto para restringido de la principal expectativa de los valores de la posición real observables. El cuasi-posición/impulso de los cristales, y por lo tanto de celosías de cristal de la materia condensada, son una propiedad emergente de las simetrías de los aproximadamente disposición de las posiciones de equilibrio de los átomos. Cualquier medición de la posición en cualquier átomo, no es sin embargo como punto definido, pero sólo muy localizadas alrededor de la rejilla de los nodos. A partir de un riguroso punto de vista, uno debe distinguir entre las fundamentales de los grados de libertad del sistema de efectivo de las cantidades emergente del sistema de simetrías. En el caso de estado sólido de la materia, el sistema se compone de una gran colección de átomos que cuyo colectivo interacciones restringir su localización bien definida por los puntos de equilibrio. Por lo tanto en el nivel estructural, podemos hablar de cuasi-clásica a los átomos en posiciones fijas (la maxima de su posición distribuciones de probabilidad), creando así una eficaz entramado de discretos cuasi-posición en la que el resto de las limitaciones y de las propiedades del sistema (potenciales periódicos, impulso...) dar un emergente modelo de cuasi-partículas que puede parecer discretiza el espacio y el impulso simultáneamente. Yo defiendo que pensar de esto como puramente mecánica cuántica posición es engañoso, porque la celosía como un todo es clásica, aunque discretos, ya que su estructura no está sujeto a superposiciones en un espacio de Hilbert, a la noncommutativity y el principio de incertidumbre, y su (constante), la estructura no es estática solución de un sistema colectivo de la ecuación de Schrödinger. La fundamental grados de libertad son el quantum de la posición y el impulso de los operadores de cada átomo, siempre sujeto a la canónica de relaciones de conmutación y así continuo espectro de uno de los dos, junto con la incertidumbre en la posición de impulso. Un cuasi-posición y cuasi-impulso de un cuasi-partícula en una red cristalina NO es tomado en cuenta por los estados propios de cualquier partícula cuántica. En este sentido, celosías de cristal no sirven como ejemplo de "cuantificada posición" (es decir, discreta del espectro), mientras conserva el nombre "posición" para referirse a su posición normal. Real de los átomos en cualquier cristal distinto de cero delimitada de la temperatura, que les prohíbe tener definida la constante de posiciones: en la medición de la posición de los átomos en un cristal, el átomo aparecerá localizado, con una distribución de probabilidad alrededor de la rejilla de nodo, pero el real observable posición del átomo no tiene que ser el nodo de sí mismo (de hecho es siempre una región, desde el punto-como posiciones no son autoestados, sólo wave-paquetes).

El quantum modelo de Ron habla en su respuesta es útil y agradable para el eficaz entramado hablé antes. Simplemente no me llaman la posición a algo que no es lo que observamos cuando la medición de la posición de las partículas cuánticas, es por eso que hablo de cuasi-posición en ese caso. En ausencia de evidencia de un discreto cuántica del espacio-tiempo, cuantificada espacio de fase es de lo que tradicionalmente se llama en física teórica por lo que yo sé. Por lo tanto, cualquier real cuántico de la posición y el impulso, en el sentido de la cuántica de los operadores cuya expectativa de valores "obedecer" (en el sentido del Teorema de Ehrenfest) clásica ecuaciones de Hamilton, y cuya evolución de Schrödinger "obedecer" (en el sentido de la eikonal aproximaciones) clásica de Hamilton-Jacobi ecuaciones, no son simultáneamente discretos.

La única teorías donde cuántica posición obtiene datos discretos espectro es en la gravedad cuántica, teorías como la loop de la gravedad cuántica, donde la fundamental grados de libertad del espacio (y del tiempo) obtener cuantificada (no confundir cuántica posición como antes, que es newtoniano posición relativa a organismos de referencia, con la posición como se entiende en la teoría general de la relatividad, donde el espacio-tiempo es el campo gravitacional). De aquí, se obtiene un granulado gráfico de nodos que forman el propio espacio, y nuestra tradicional continuum de posiciones son sólo aproximaciones (incluso a nivel atómico) de la relacionales posición dada por un plano del campo gravitacional.

Answer 3

Así, supongamos que usted tiene un eigenstate de $\hat{x}$: $$\hat{x}|\psi\rangle = x|\psi\rangle$$ Ahora vamos a actuar con $\hat{x}$$e^{i\hat{p}\delta}|\psi\rangle$, y el uso de esta fórmula (he a $\hbar=1$): $$\hat{x}e^{i\hat{p}\delta}|\psi\rangle=e^{i\hat{p}\delta}\left(\hat{x}+i\delta[\hat{p},\hat{x}]+\frac{i\delta}{2!}[\hat{p},[\hat{p},\hat{x}]]+\frac{i\delta}{3!}[\hat{p},[\hat{p},[\hat{p},\hat{x}]]]+...\right)|\psi\rangle=$$ $$=e^{i\hat{p}\delta}(\hat{x}+\delta)|\psi\rangle=(x+\delta)e^{i\hat{p}\delta}|\psi\rangle$$ Así que usted tiene otra eigenstate, desplazado en el arbitrarias distancia $\delta$.

Parece que este resultado se cumple para cualquier par de variables observables con constante colector.

Answer 4

Depende de lo que se define como "posición".

En los cristales, por ejemplo, existe un tres dimensiones de la cuadrícula en la que los átomos están permitidos , apilados en la unidad de las células, por lo que no es de cuantización en el espacio para ser observada, y la mecánica cuántica se trata de soluciones . Más numerosos son los de la interferencia de soluciones de qm ondas que también muestran una cuantización del espacio, donde algunas posiciones son más probables que othes. Por lo que no es cierto que la posición no es quantizable.

Todas las soluciones en donde la energía está cuantizada implican la materia y potenciales también. Una partícula libre no muestra una cuantización de la energía, ya que no la cuantización de visualización de posición.

Si la pregunta es abordar intrínsecamente si el espacio está cuantificada, como lo sería también si uno le pregunta si la energía es intrínsecamente cuantizada, es decir, viene en un mínimo de paquetes, que es otra cuestión.

Answer 5

Hay que tomar en consideración el hecho de que la noción de "posición de la partícula' en la mecánica cuántica no tiene sentido. Uno no puede hablar de la posición de una partícula, como no se puede hablar de un determinado camino tomado por la partícula. La posición de una partícula en mecánica cuántica no es una variable dinámica, como es en la mecánica Newtoniana, no existe como tal. La conmutación relación [p,x]=ih(bar) utilizado por algunos nos dice, que no es posible medir tanto la x y la p con arbitrariamente alta precisión, por lo tanto Heisenberg del principio de incertidumbre de los resultados de la misma. Una buena idea si la posición se cuantifica o no puede ser encontrado mediante la observación de la TDSE (depende del tiempo de la ecuación de Schrödinger.) La estructura matemática de la ecuación, siendo una ecuación diferencial en x,y,z y t, se requiere que tanto la posición y el tiempo debe ser variables continuas. Este requisito es una necesidad para la definición de la función de onda, pero nadie sabe donde la partícula descrita por la función de onda en realidad es, y no digamos si su posición se cuantifica o no! Uno no debe confundir la cuantificación de la electrónica de los orbitales en los átomos con la posición de cuantificación.