Necesito ayuda con el teorema del valor medio.

Question

Tengo una pregunta de un examen pasado de Cálculo y realmente no sé a dónde ir con esta pregunta, cualquier ayuda sería apreciada. La pregunta del papel es:

Supongamos que $0<a<b.$ Demuestra que $\frac{\sinh b-\sinh a}{\cosh b- \cosh a}=\coth (c)$ para algunos $c\in(a,b)$ . (Sugerencia: Aplique el teorema del valor medio con $f(x)=\sinh x-\lambda \cosh x$ para una elección adecuada de $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Solo busco cualquier aporte que ayude a resolver esta duda, Muchas Gracias.

Answer 1

El teorema del valor medio afirma explícitamente que existe algún $c \in (a,b)$ tal que:

$$\begin{split} f'(c) &= \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \\ \cosh{c} - \lambda \sinh{c} &= \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \end{split}$$

Ahora, necesitamos $\coth c$ . Eso sería:

$$\coth c = \frac{1}{\sinh c}\frac{f(b) - f(a)}{b-a} + \lambda$$

Si $f(b) = f(a)$ podríamos deshacernos de ese extra $\sinh c$ en el lado derecho y simplemente obtendríamos $\coth c = \lambda$ . Así que hagámoslo:

$$\begin{split}f(a) &= f(b) \\ \sinh a - \lambda \cosh a &= \sinh b - \lambda \cosh b \\ \lambda \cosh b - \lambda \cosh a &= \sinh b - \sinh a \\ \lambda &= \frac{\sinh b - \sinh a}{\cosh b - \cosh a} \end{split}$$

Por lo tanto, existe algún $c \in (a,b)$ tal que:

$$\coth c = \frac{\sinh b - \sinh a}{\cosh b - \cosh a}$$

Se podría llegar a esto más directamente utilizando Teorema del valor medio de Cauchy que establece que dadas unas funciones $f,g$ continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ entonces existe alguna $c \in (a,b)$ tal que:

$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$

Simplemente ajuste $f(x) = \sinh x$ y $g(x) = \cosh h$ y llegamos al resultado más directamente.

Answer 2

Sugerencia: Utilice el teorema del valor medio de Cauchy de http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem