Si G es una acción de grupo primitivo en una, entonces $G_a$ es un subgrupo maximal de G

Question

Si G es una primitiva de la acción del grupo sobre el, $G_a$ es un subgrupo maximal de G

Un bloque es un subconjunto $B \subseteq A$ tal que para cualquier $\sigma \in G$, $\sigma (B) = B$ o $\sigma(B) \cap B = \emptyset$. Transitivo grupo de acción se denomina primitiva si la única bloques en $A$ son solo elementos $a \in A$ o $A$ sí.

Estoy teniendo problemas para mostrar que el estabilizador de un elemento $G_a$ es máxima en $G$. Su relativamente fácil demostrar que $G_a \le G_B$, yendo más allá de ese punto es difícil. Busqué en google y encontré un sitio que dice que hay un uno a uno correspendance entre los bloques countaining $a$ y subgrupos que contengan $G_a$, pero no veo por qué esto es cierto.

Answer 1

Deje $G_a\subseteq H\subseteq G$ ser un subgrupo de $G$; deje $B=\{ ha\mid h\in H\}$. Yo reclamo que $B$ es un bloque.

En efecto, supongamos que $x\in B\cap\sigma(B)$. Entonces no existe $h,h'\in H$ tal que $ha = \sigma h'a$. Por lo tanto, $h^{-1}\sigma h' a = a$, lo $h^{-1}\sigma h'\in G_a$. Desde $G_a\subseteq H$,$h(h^{-1}\sigma h')h'^{-1}\in H$, lo $\sigma\in H$. Por lo tanto, $\sigma(B) = B$, ya que el $B$ es invariante bajo la acción de $H$.

Desde $B$ es un bloque, por el primitivity sabemos que cualquiera de las $B=\{a\}$ o $B=A$. Si $B=\{a\}$, $ha=a$ todos los $h\in H$, lo $H\subseteq G_a$, por lo tanto $H=G_a$.

Si $B=A$, entonces para cada a $g\in G$ existe $h\in H$ tal que $ga = ha$ (por transitividad de la acción); por lo tanto $h^{-1}ga = a$, lo $h^{-1}g\in G_a\subseteq H$; por lo tanto $g\in H$. Esto demuestra que $G\subseteq H$, lo $H=G$.

En resumen, si la acción es primitivo, $a\in A$, e $H$ es un subgrupo de $G$$G_a\subseteq H\subseteq G$, $G_a=H$ o $H=G$. Es decir, $G_a$ es un subgrupo maximal de a $G$.