Estoy tratando de entender presentaciones de grupo y de Cayley gráficos, y tienen un par de preguntas, estoy confundido.
Deje $G=(V,E)$ ser finito $d$-gráfico regular que es conocido por ser un grafo de Cayley del grupo $\Gamma$ y un simétrica electrógenos $S=\{s_1,s_2,\dots,s_d\} \subset \Gamma$. Ahora es claro que cualquier ciclo (o cerrado a pie) en el gráfico se puede expresar como una palabra sobre $S$ que evalúa a la identidad en el grupo $\Gamma$. Lo contrario también es cierto: cualquier palabra sobre $S$ que da como resultado el elemento de identidad en $\Gamma$ puede ser utilizado para la construcción de un ciclo en el grafo $G$.
Deje $R$ ser el conjunto de todas las palabras sobre $S$ que evaluar a la identidad (en otras palabras, $R$ es el conjunto de todos los ciclos en $G$). El conjunto $R$ es cerrado bajo la concatenación de las palabras, y es un subgrupo del grupo de free $Free(S)$.
Es necesariamente cierto que $$\Gamma \cong Free(S)/R$$ that is, is the quotient of the free group by the subgroup of relations formed using cycles in the Cayley graph isomorphic to the group $\Gamma$? Intuitivamente, parece razonable pensar así. Casi obvia, (ACTUALIZACIÓN: es obvio!) lo que me lleva a la pregunta principal.
Supongamos $G=(V,E)$ es de nuevo una $n$-vértice $d$-gráfico regular. Pero ahora no sabemos si es un grafo de Cayley. Elija una orientación arbitraria de cada borde y trivialmente más el juego de etiquetas de $S=\{s_1,s_2,\dots,s_{|E|}\}$ a asociar cada una orientada a la orilla con un símbolo correspondiente, y su orientación inversa con una función inversa de ese símbolo. Es decir, podemos asociar a cada borde con dos (opuesta) orientado (o dirigida) bordes y asociarlos con un símbolo de $s$$s^{-1}$.
Ahora de nuevo se puede considerar que la libre grupo de $Free(S)$ y un subgrupo $R$ generado por las palabras de más de $S$ que corresponden a los ciclos en el grafo.
Es $R$ normal? Hay condiciones combinatorias en el gráfico que hacer $R$ normal?
Supongamos $R$ es normal. ¿Qué podemos decir sobre el grupo $Free(S)/R$? ¿Hay alguna conexión entre la gráfica de $G$ y el grupo de $Free(S)/R$?
Supongamos que, como antes, $G$ es un grafo de Cayley de un grupo de $\Gamma$. A continuación, es el de arriba cociente grupo isomorfo a $\Gamma$?
Pido disculpas si esta pregunta es demasiado amplia. Voy a tratar de hacer que sea más precisa en las actualizaciones basadas en la retroalimentación. Pero voy a ser feliz, incluso con las referencias pertinentes.
