Una función que tiene una derivada pero no es integrable

Question

¿Cómo es posible que la función$F(x)$ esté definida por:

$$ F (x) = \ left \ {\begin{array}{ll} x\sqrt{x}\sin\frac{1}{x}, & x> 0 \\ 0, & x=0\end {array} \ right. $$

$$ F '(x) = \ left \ {\begin{array}{ll} \frac{3}{2}\sqrt{x}\sin\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\cos\frac{1}{x}, & x> 0 \\ 0, & x=0\end {array} \ right. $$

tiene una derivada, que no es Riemann -integrable en ningún intervalo$[0,|b|]$, la función es continua y cada función continua debe tener un R-Integral?

Answer 1

Lebesgue del criterio de integrabilidad de Riemann establece que una función $f: [a, b] \longrightarrow \Bbb R$ es Riemann integrable si y sólo si es acotada y continua en casi todas partes en $[a,b]$.

En el presente caso, $|F(x)| \leq |b| \sqrt{|b|}$ $[0, |b|]$ $F$ es también continua en $[0, |b|]$, así que por Lebesgue criterio del $F$ es Riemann integrable.

Por otro lado, $F'$ no está delimitado en cualquier barrio de $x = 0$, así que por Lebesgue del criterio es no es Riemann integrable.

El punto de este ejemplo es que no siempre se puede integrar una función sólo porque esa función es un derivado de alguna otra función.