Observación: En ${\mathbb F}_5$ tenemos $x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^5 - x$.
Esto se deduce del hecho de que más de un campo finito $F$ tenemos $x^{|F|} - x = \prod_{g\in F} (x-g)$, lo que se puede comprobar fácilmente al darse cuenta de que todos los elementos son raíces y que un polinomio de grado $|F|$ no pueden tener más raíces.
Reclamo: Más generalmente, vamos a demostrar que, dado un primer $p$ $t\in{\mathbb F}_p\setminus \{0\}$ tenemos que $f(x)= \prod_{k\in{\mathbb F}_p} (x-k) - t = x^p - x - t \in{\mathbb F_p}[x]$ es irreducible sobre ${\mathbb F}_p$.
Prueba. Deje $\alpha$ ser una raíz de $f$ más de algún campo de la extensión.
Tenga en cuenta que más generalmente sobre un campo finito ${\mathbb F}_q$ tenemos que, el monic polinomio irreducible $m_\alpha (x)$$\alpha$${\mathbb F}_q$, satisface
$$ m_\alpha (x) = \prod_{k=0}^{n-1} (x-\alpha^{q^k}) $$
donde $n$ es el menor entero positivo tal que $\alpha^{q^n} = \alpha$.
Este es un resultado conocido en campos finitos. Sin entrar en demasiados detalles, esto se deduce del hecho de que $\text{Gal}\left({\mathbb F}_{q^n}/{\mathbb F}_q\right)$ es cíclica, es decir, generado por el Frobenius mapa de $x\mapsto x^q$. Por lo tanto las raíces de arriba son en realidad la Galois conjugados de $\alpha$, y el resultado se sigue de un conocido teorema de la Teoría de Galois.
Sólo tenemos que comprobar ahora que en nuestro caso, con $p=q$, e $f(\alpha)=0$, nuestra $n$ debe $p$. En efecto, desde el $f(\alpha) = 0$, tenemos
$$ \alpha^{p^n} = (\alpha^p)^{p^{n-1}} = \left( \alpha + t \right)^{p^{n-1}} = \alpha^{p^{n-1}} + t^{p^{n-1}} =\alpha^{p^{n-1}} + t = \ldots = \alpha + n \times t $$
Desde $t\neq 0$, el más pequeño de tales $n$ es claramente $p$, ya que de lo contrario $n\times t \neq 0$. Por lo tanto el número de factores lineales (Galois conjugados) en $m_\alpha(x)$ $p$ y conseguimos que nuestro polinomio era irreductible. $\square$
Conclusión: Esto demuestra que, dado un primer $p$, el polinomio $g_p(x) = x\cdot (x-1)\ldots (x-p+1) - a \in {\mathbb Z}[x]$,$p\not | a$, debe ser irreductible ${\mathbb Q}$.
De hecho, en ${\mathbb F}_p$ tenemos que $g_p(x)$ reduce a$f(x) = x^p - x - \bar{a}$$\bar{a}=t\neq 0$.
También podemos sustituir $k$ en los factores de $(x-k)$ en el producto por cualquier elemento $\equiv k(\bmod. p)$.
Un enlace: recientemente ha habido una relacionada con el post, que es más general, y muy interesante.
Comentario Final: Cuando se trata de Campos Finitos, el resultado anterior en polinomios irreducibles es muy a menudo una buena manera de demostrar que un polinomio es irreducible.
